第三章 布朗运动.pdfVIP

第三章布朗运动 主主讲讲人人：：李李伟伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季 本章主要内容 •Brown运动的性质 ••BrownBrown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程 •Brown的仿真 Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果 1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式 2 称实过程{W , t ≥ 0}是参数为σ 的布朗运动，若 t （1） W = 0 0 ） 是平稳独立增量过程 （2 {W , t ≥ 0} t （3） ∀0 ≤ s t, W -W ~ N (0,σ 2 (t − s)) t s σ 2 = 1 时称为标准布朗运动 {W , t ≥ 0} σ2 Wiener ( 设 t 是参数为 的 过程 布朗运 动), 则 (1) ∀t 0,W(t) ~ N(0,σ 2t) 2 (2) m (t) = 0, D (t) = σ t, t ≥ 0, W W RR ((ss,,tt)) == CC ((ss,,tt)) == σσ 22 min(min(ss,,tt),), ss,,tt,, ≥≥ 00 W W Wiener过程是正态过程． 一 Brown运动的性质 对称性 -W也是一个标准Brown运动 自相似性：对任意的常数a0和固定的时 间指标t0,有W (at)=a1/2 W(t) 时间可逆性 B (t)=W (T)-W (T-t) 则B={B (t), 0≤t≤T}也是一个标准Brown运 动 W(at)~ N(0,at) 令 1 2 X =aW(t) 2 1 2 y - 2 z x 1 - a x 1 - 2at 2t P(W (at) ≤ x)=∫∫--∞∞ e dy=∫∫--∞∞ e dz 22ππ atat 22ππ tt 1