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2011GCT 讲义 第三章 集合、映射和函数 本章重点内容 函数的单调性、奇偶性、周期性，函数图像的对称性，常见函数的图象及其性质，反函数，复 合函数 §3.1 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性 一、单调性 若函数 y = f (x) 在其定义域的某个子集 I 上满足：对 ∀x , x ∈I ，当 x x 时都有 1 2 1 2 f (x ) ≤ f (x ) （或f (x ) f (x ) ），则称 f (x)在 I 上是增函数(严格增函数) ；若 f (x)在 I 上满 1 2 1 2 足：对∀x , x ∈I ，当x x 时都有f (x ) ≥ f (x ) （或f (x ) f (x ) ），则称f (x)在 I 上是减 1 2 1 2 1 2 1 2 函数（严格减函数）。增函数和减函数都称为单调函数。 二、奇偶性 若函数y =f (x)对其定义域内任意的 x 都有f (−x) = − f (x) （或f (−x) = f (x) ），则称 f (x)为奇函 数（偶函数）。 注： （1）两个有公共定义域的奇函数的和（差），仍是奇函数；两个有公共定义域的偶函数的和 （差），仍是偶函数； （2 ）两个有公共定义域的奇函数的积是偶函数；两个有公共定义域的偶函数的积是偶函数； （3 ）有公共定义域的一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； 1 （4 ）函数f (x ) 与 具有相同的奇偶性; f (x ) 三、周期性 若存在非零常数 T，使函数y =f (x)在其定义域内对任意的 x 都有f (x+T ) = f (x) ，则称 f (x)为 周期函数，T 称为函数f (x) 的周期。如果f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，则这个正数称为f (x) 的最小正周期。 四、函数图像的对称性 （1）函数y =f (x) 的图像关于y 轴对称：f (−x ) f (x ) 。可见偶函数的图像关于y 轴对称。 （2 ）函数y =f (x) 的图像关于原点对称：f (−x ) =−f (x ) 。可见奇函数的图像关于原点对称。 （3 ）若函数y =f (x) 满足f (a −x) f (a =+x) ，则其图像关于直线x a 对称。 （4 ）若函数y =f (x) 满足f (a −x) =−f (a +x) ，则其图像关于点(a,0) 对称。 （5 ）对任何函数y =f (x)都有：y f (a =−x ) 的图像和y f (a +x ) 的图像关于y 轴对称（见例 题）。 28 中科院研究生院2011 年 7 月 2011GCT 讲义 典型例题 x −x x a −a (a +1)x 例 3.1.1 设a 0, a ≠1 ，判断f 1 (x ) 和f 2 (x ) x 的奇偶性。 2 a −1 解：对f 1 (x ) 的定义域(−∞+∞, ) 内任一个x ，有 −x x x −x