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* * 目 录 ? 简谐振动的总能量： ? 简谐振动的势能： ? 简谐振动的动能：以水平的弹簧振子为例 1.5 简谐振动的能量 1.6 谐振子的阻尼振动 ? 无阻尼的自由振动 ? 谐振子的阻尼振动 1.7 谐振子的受迫振动 共振 ? 谐振子的受迫振动 ? 共振 作业：9,18,20 ? 简谐振动的势能： 1.5 简谐振动的能量 以水平的弹簧振子为例 ZD_0 ? 简谐振动的动能： ? 简谐振动的总能量： 弹性力是保守力总机械能守恒， 即总能量不随时间变化。 ZD_3 求出势能的时间平均值: 求出动能的时间平均值: 这些结论同样适用于任何简谐振动。 求出势能的时间平均值: * 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。 * 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比 * 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半 结论： 1.6 谐振子的阻尼振动 ? 谐振子的阻尼振动 ? 无阻尼的自由振动 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， 与其方向相反。 弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： CAIUPS 称 为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数 令： （1）阻尼较小时， 此方程的解： 这种情况称为欠阻尼 阻力使周期增大 由初始条件决定A和初相位 ,设 即有： ZD_4 欠阻尼 （2）阻尼较大时， 方程的解： 其中 是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼。 过阻尼 无振动发生。 临界阻尼 称之为临界阻尼情况。它是振动系统 刚刚不能作准周期振动，而很快回到 平衡位置的情况，应用在天平调衡中。 是由初始条件 决定的积分常数。 （3）如果 方程的解： 是从有周期性因子 到无周期性的临界点。 CAIUPS ? 谐振子的受迫振动 1.7 谐振子的受迫振动 共振 设强迫力 阻尼力： 是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。 由微分方程理论： 非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。 其解为： 经过足够长的时间，称为定态解： 该等幅振动的角频率就是强迫力的频率； 稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为： 讨论： 较小 若 很小， 很大。 求振幅 对频率的极值， 得出 共振的角频率。 共振的振幅。 振幅有极大值： ? 共振 当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的 位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振， 简称共振（resonance)。 共振的角频率。 代入 共振时的初相位 当 弱阻尼时 共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。 受迫振动相位落后于强迫力相位 ，即振动速度 与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对 速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧 增大的原因。 但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不 断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而 使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时， 这能量转变为共振质点的能量，也叫共振 吸收。 陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168 通常称 的关系曲线为频率响应曲线。 当 时，即相对振幅为 0.707 (即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振 峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情 况下，共振带宽为： 定义振动系统的品质因数： 频率响应曲线 频率响应曲线 值的意义，不仅表征了受迫阻尼振动系统 频率选择性能的好坏，而且系统 值越低， 则系统的阻尼损耗越大，能量衰减越快。 定义振动系统的品质因数： ? 简谐振动的总能量： ? 简谐振动的势能： ? 简谐振动的动能：以水平的弹簧振子为例 1.5 简谐振动的能量 1.6 谐振子的阻尼振动 ? 无阻尼的自由振动 ? 谐振子的阻尼振动 1.7 谐振子的受迫振动 共振 ? 谐振子的受迫振动 ? 共振 目 录 作业：9,18,20