第十章曲线与曲面(三)b-样条曲线.pdf

参数曲线与曲面(二) B-样条曲线 回想一下，设计一条曲线，我们可以通过 Bezier 控制多边形 给出大致轮廓，再通过调整控制顶点来调整曲线。如果是有理 Bezier 曲线，还可以通过调整权因子来调整曲线。对设计者来说， 确实方便。但是，Bezier 曲线有两个缺点： 次数取决于 Bezier 控制顶点的个数，曲线次数太高。 整体性。牵一发而动全身，太敏感。 这正是我们引进 B 样条曲线的原因。具体做法是，将 Bezier 曲线的Bernstein 基换为 B 样条基。B 样条曲线是 NURBS 的基 础，而 NURBS 是 CAGD 中的核心技术。 三次样条曲线 • 预备知识：三次样条曲线的定义 定义 1. 设区间 [a,b] 分割为 a t0 t1 …tn b , p (t ) 是满足下 列条件之向量函数。 1 i 每个小区间 [ti , t i+1], i=0,1,…,n-1 上，p (t ) 是 t 的3 次向量多项式。 2 ii p (t ) ∈ C [a,b]. 即p (t ) 有直至 2 阶的连续导向量。 则 p (t ) 为 [a, b] 上关于分划 a t0 t1 …t n b 的 3 次参数 样条曲线。 • 从样条曲线的观点导出三次等距 B 样条 设 b , b ,⋅⋅⋅, b 为空间任 m+1 个点向量，b b ⋅⋅⋅b 为特征多边形， 0 1 m 0 1 m 顺次取 4 个顶点b b b b , (i 0,1,2, Lm −3) 作三次曲线段： i i+1 i+2 i+3 3 p ( t) F ( t) b (0 t 1) ∑ i j+ ≤ ≤ (1) ,3 ,3 i j j 0 这里F (t ) 为待定基函数 (调配函数). 这 m-2 段曲线要求： j ,3 ① p (k ) (t )| p (k ) (t )| k 0,1,2.i 0,1, L,m −4 i,3 t 1 i=+1,3 t 0 ② b i b i+1 ⋅⋅⋅ b i+3 时，p (t ) b . i i 我们由①,②推导F (t ) 。