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2006年“信利杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内，不填、多填或错填得零分。） 1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2、已知m=1+ ，n=1— ，且（7m2—14m+a）（3n2—6n—7）=8，则a的值等于（ ） （A）—5 （B）5 （C）—9 （D）9 3、RtΔABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴。若斜边上的高为h，则（ ） （A）h＜1 （B）h=1 （C） 1＜h＜2 （D）h＞2 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B） 2005 （C）2006 （D）2007 5、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上， 连结DP，DP交AC于点Q，若QP=QO，则 的值为（ ） （A）2—1 （B）2 （C）+ （D）+2 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、已知a、b、c为整数，且a+b=2006，c—a=2005。若a＜b，则a+b+c的最大值为 7、如图，面积为a—c的正方形DEFG内接于面积 为1的正三角形ABC，其中a、b、c是整数，且b不 能被任何质数的平方整除，则的值等于 8、正五边形广场ABCDE的周长为2000米。甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿 方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分。那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上。 9、[x]表示不超过x的最大整数，如[3.2 ] =3, 已知正整数n小于2006,且[]+[]= [] ,则这样的n有 个. 10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码，小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 。 解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11、已知，为互质的正整数，且≤8，—1 ＜＜ —1 试写出一个满足条件的； 求所有满足条件的。 12、设a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式 b2+c2=2a2+16a+14， （1） bc= a2－4a—5 （2） 求a的取值范围。 13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B。过点A作PB的平行线，交⊙O于点C。连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于K。求证：PE·AC=CE·KB 14、2006个都不等于119的正整数a1，a2，a3 ，… a2006 排列成一行数，其中任意连续若干项之和各都不等于119，求a1+ a2+ a3+… + a2006的最小值。 2006年“信利杯”全国初中数学竞赛试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B D 5013 — 104 334 282500 解：因为4和9的最小公倍数为36，19+36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是55。 解：由已知可得m2—2m=1，n2—2n=1。又 （7m2—14m+a）（3n2—6n—7）=8， 所以（7+a）（3—7）=8， 解得a= —9。 解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|＜|a| ），则点B的坐标为（—a，a2），由勾股定理，得 AC2=（c—a）2+（c2—a2）2 BC2=（c+a）2+（c2—a2）2 AC2+BC2=AB2， 所以 （a2—c2）2= a2—c2 。 由于a2＞c2 ，所以a2—c2 =1。故斜边AB上高h= a2—c2 =1。 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加3600，于是，剪过k次后，