《2016届高三数学第二轮复习(空间角与距离)》.docVIP

空间角与距离 ★★★高考考什么 【考点透视】 异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大【热点透析】 1．转化思想 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2．求角的三个步骤一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证 3．二面角的平面角的主要作法①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法【考点透视】 判断线线线面面面的平行与垂直求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 转化思想 ① ；② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影【范例1】 （I）求证：平面平面； （II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小； （III）求与平面所成角的最大值． 解法一： （I）由题意，，， 是二面角是直二面角， 又二面角是直二面角， ，又， 平面， 又平面． 平面平面． （II）作，垂足为，连结（如图），则， 是异面直线与所成的角． 在中，，， ． 又． 在中，． 异面直线与所成角的大小为． （III）由（I）知，平面， 是与平面所成的角，且． 当最小时，最大， 这时，，垂足为，，， 与平面所成角的最大值为． 解法二： （I）同解法一． （II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，， ，， ． 异面直线与所成角的大小为． （III）同解法一 【范例2】ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； 分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结． 为正三角形，． 正三棱柱中，平面平面， 平面． 连结，在正方形中，分别为 的中点， ， ． 在正方形中，， 平面． （Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面． ， 为二面角的平面角． 在中，由等面积法可求得， 又， ． 所以二面角的大小为． （Ⅲ）中，，． 在正三棱柱中，到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由得， ． 点到平面的距离为． 解法二：（Ⅰ）取中点，连结． 为正三角形，． 在正三棱柱中，平面平面， 平面． 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，． ，， ，． 平面． （Ⅱ）设平面的法向量为． ，． ，， 令得为平面的一个法向量． 由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量． ，． 二面角的大小为． 【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。 【】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。 （1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。 解：在梯形ABCD中,AD=2， ， 又平面ACD 又，且平面BCD （2）因为BA=BC，，为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE//AD，OF//BC，所以AD与BC所成的角为或其补角作FH//BO交AC于H，连结HE则FH平面ACD 在三角形EOF中，又，EO=1由余弦定理知 故异面直线BC与AD所成的角为【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。 【范例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小 解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A,过A作AO⊥PF于O，连结OD则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。得，故面PDE与PAD所成二面角的大小为 （2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A, 同时BC⊥平面BPA于B,∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。　　 解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是