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基礎講義 信望愛基金會‧數學種子教師團隊 3-3 平面上的直線 直線的參數式 → 設 P (x ,y ) 為坐標平面上一定點，u (a,b) 0 0 0 為一非零向量， → 則過P點且與 u 平行之直線L 的參數式為 0 0 ，t R 坐標平面上過已知兩點P (x ,y ) ，P (x y )之直線L 1 1 1 2 2, 2 的參數式為： 1 2 1 t R 1 2 1 同時我們也可以藉由限制t的範圍來得到部分的圖 形 當t=0 時表示P 1 一點，t=1 表P2 一點 當0 1時，表 → 當t 1時，表射線P P 2 1 → 當t 0時，表射線P P 1 2 兩直線的夾角 利用內積公式求兩直線夾角：假設坐標平面上兩 直線。 L ：a x+b y +c =0 與 L ：a x+b y +c =0 ，夾角為θ， 1 1 1 1 2 2 2 2 從右圖可知 L 1 與 L2 的夾角 θ 等於其法向量的 夾角。 1 利用法向量作內積即可求出其夾角的 cosθ = 利用斜率來求兩直線夾角 假設座標平面上兩直線L ，L 之斜率分別為m ，m ，在上一個章節我們學到坐標平面上 1 2 1 2 直線的斜率相當於其與X 軸夾角的tangent 函數值。從圖中我們可以利用三角形的外角定理得到 α =β +θ 兩直線的夾角θ =α -β ，其中tanα=m1 ，tanβ=m2  tanθ tan α β 而與之互補的另一夾角θ2 tanθ2=tan(180˚θ)= 點到直線距離 | | 點P(x ,y )到直線L :ax+by+c=0之距離為 0 0 √ | | 兩平行直線L :ax+by+c ，L :ax+by+c 之距離為 1 1 2 2 √ 設L :a x+b y +c =0與L :a x+b y +c =0為平面上兩相交直線，顯然兩直線將平面切割成四個區 1 1 1 1 2 2 2 2 域，其中若是區域中的任一點代進兩直線將得到同號值，則稱此為同號區，反之則為異號區， 如下圖所示。 (1)位於同號區之角平分線為: (2)位於異號區之角平分線為: