第二类曲线积分11.5.26.ppt

平面向量场 注 第二类曲线积分 第一节 第十四章 一、第二类曲线积分的概念及性质 三、两类曲线积分的联系 二、第二类曲线积分的计算法 场线 一、第二类曲线积分的概念及性质 1. 问题引入： “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 L: A ? B, 解决办法: 求移动过程中变力 联想：恒力沿直线做功 所作的功W. 2o “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 1o “大化小” 4o “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的最大长度) 3o “近似和” 变力沿曲线所作的功 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条 有向光滑弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在(与分化和取点无关), 在L 上定义了一个有界向量函数 极限 2. 定义14.1 F(x,y)在有向曲线弧 L 上第二类曲线积分, 或对坐标的曲线积分，记作 则称此极限值为向量值函数 积分曲线 第二类曲线积分的向量形式 第二类曲线积分的坐标形式 对 x 的曲线积分; 对 y 的曲线积分. 1° 关于第二类曲线积分的几个术语 2° 若? 为空间曲线弧 , 3° 如果L 是闭曲线, 则对坐标的曲线积分记为 4° 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! 5° 变力沿曲线所作的功 性质 L1 L2 (3) 有向性: 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 这是第一类和第二类线积分的一个重要区别 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向. 二、第二类曲线积分的计算法 定理 设 L 是一条平面有向光滑曲线弧， 其参数方程为 则有 代入上式，且同时换限. 注 a不一定小于 b ! 2o 如果 L 的方程为 3o 对空间光滑曲线弧 ? : 其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 从点 的一段. 例1 计算 注意积分 路径的 表示形式 解法2 取 y 为参数, 则 -1 1 注意积分 路径的 表示形式 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解 (1) L: (2) L : 则 则 例2 计算 沿不同的路径积分，其结果不同 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解 (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 例3 计算 沿不同的路径积分，所得到结果相同 例4 计算 其中Γ是从点 A (3, 2, 1)到点B (0, 0, 0)的直线段AB. 解 直线AB为: 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解 ? 的参数方程: 例5 求 作用下, 质点由 沿?移动到 解 (1) (2) ? 的参数方程: 试求力场对质点所作的功. 其中?为 x 例6 设在力场 三、两类曲线积分之间的联系 起点： A → a 终点： B → b 定理 说明 从而 可以推广到空间曲线上 将积分 化为对 弧长的积分, 解法1 其中L 沿上半圆周 例7 切向量 与L方向一致. 其方向余弦： 解法2 解法3 切向量 与L方向相反. 与L同方向的切向量： 其方向余弦： … ….