三阶非齐次常系数微分方程解的表达式.docVIP

教学单位　　　　　　 学生学号　　　　　　 本科毕业论文（设计） 题　　目　　　　　　　　　　 学生姓名　　　　　　　　　　 专业名称　　　　　　　　　　 指导教师　　　　　　　　　　 年　　月　　日 三阶非齐次常系数线性微分方程解的表达式 胡青（111114110） （湖北工程学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000） 摘 要：利用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程，这种方法被许多作者研究过。本文利用常数变易法求出了三阶非齐次常系数微分方程解的表达式，利用解的表达式，可以很方便地求出三阶非齐次常系数微分方程的解。 关键词：常数变易法；三阶；非齐次；常系数微分方程；解的表达式 The Solution of third-order Non-homogeneous Ordinary Differential Equation with Constant Coefficient HuQing (111114110) (Hubei?Engineering College,?Xiaogan,?Hubei,?432000) Abstract:Uses the method of constant variation to second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, this method by many authors studied. In this paper, the constant variation method is used to derive the third order nonhomogeneous the expressions of the constant coefficient differential equations, using the expression of the solution can be easily calculated third-order differential equation with constant . Key words: constant variation method; The third order. Non-homogeneous; Constant coefficient differential equations; Expression of solution 预备知识 定义1.1：方程称为常系数齐次线性方程 的特征方程。 特征方程的根称为特征根。 引理1.2：二阶常系数非齐次线性微分方程 其对应齐次方程的特征方程为 （1）若特征方程有俩实根，则此微分方程的通解为 其中，于是通解又可表述上为 于是，若知道特征方程任一实根，都有通解为 （1）的形式。 （2）若特征方程有俩复根， a，b为实数，且b0，则此微分方程的通解为： （2） 主要结论及证明 定理2.1：三阶非齐次常系数线性微分方程 （3） 若为（3）对应齐次方程的特征方程： 的 一实数根，再考虑方程（4） 根的情形，那么此微分方程的通解有如下情形： （1）若r为方程（4）的一个实根，则通解的表达式为 （2）若r为方程（4）的复根时，设，a，b为实 数，且b，此时通解表达式为: 证明： 方程（3）对应的齐次方程为： （5） 那么特征方程为： （6） 因（6）为一元三次方程，则其至少有一实根，那么设为其一实 根， 则 是（5）的一个解，那么用常数变易法，可设（3） 的解为，并代入（3）中可得： 因为为（5）的一个实根，所以， 那么有： 若将此方程看做是关于的二阶常系数非齐次线性微分方程，那 么其对应齐次方程的特征方程为： ， 下面讨论此方程根的情况： （1）.若r为其任一实根