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2016-01-06 发布于四川
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MATH2019 Problems 1. Partial Diﬀerentiation 1 Verify that wxy = wyx if a. w = ln(2x + 3y) b. w = ex sinh y + cos(2x − 3y). 2 ∂2 f ∂2 f ∂2 f Find 2 , 2 , . ∂x ∂y ∂y∂x a. f (x, y) = ln(x2 + y2 ); 2 b. f (x, y) = x y + cos y + y sin x; −1 y c. f (x, y) = tan . x 3 ∂2 f ∂2 f ∂2 f Show that the following functions satisfy the Laplace equation: 2 + 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ∂z a. f (x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2 )z ; b. f (x, y) = ln x2 + y2 ; c. f (x, y, z) = e3x+4y cos 5z. 4 Show that the following functions are solutions of the wave equation 2 2 ∂ w ∂ w 2 = c . ∂t2 ∂x2 a. w = cos(2x + 2ct); b. w = ln(3x + 3ct). 5 df df Use the chain rule to express in terms of t. Then evaluate at the given value of t dt dt a. f (x, y, z) = ln(x + y + z), x = cos2 t, y = sin2 t, z = t; t = π ; b. f (x, y) = x2 + y2 , x = cos t, y = sin t; t = π. 2 du 6 2 y 2 If u = x + e , x = sin 2t, and y =