概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案.pdf

第四章 大数定律与中心极限定理 习题 4.1 P P 1． 如果X n →X ，且X n →Y ．试证：P {X = Y } = 1． 证：因 |X −Y | = | −(Xn −X ) + (Xn −Y )| ≤ | Xn −X | + |Xn −Y |，对任意的ε 0 ，有 ⎧ ε⎫ ⎧ ε⎫ P X Y ε P X X P X Y ， + − ≥ 0 ≤ {| − | ≥ } ≤ | − | ≥ ⎨| | ⎬ ⎨ n ⎬ n ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ P P ⎧ ε⎫ ⎧ ε⎫ 又因X n →X ，且X n →Y ，有 lim P ⎨| X n −X | ≥ ⎬ 0 ， lim P ⎨| X n −Y | ≥ ⎬ 0 ， n→+∞ ⎩ 2 ⎭ n→+∞ ⎩ 2 ⎭ 1 ⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫ 则 P {|X −Y | ≥ε} = 0，取ε ，有P ⎨| X −Y | ≥ ⎬ 0 ，即P ⎨| X −Y | ⎬ 1， k ⎩ k ⎭ ⎩ k ⎭ ⎧+∞ ⎧ 1⎫⎫ ⎧ 1⎫ 故 − − ． P X Y P X Y P X Y { } ⎨I⎨| | ⎬⎬ lim ⎨| | ⎬ 1 k 1 ⎩ k ⎭ k →+∞ ⎩ k ⎭ ⎩ ⎭ P P 2 ． 如果X →X ，Y →Y ．试证： n n P （1）X +Y →X +Y ； n n P （2 ）X Y →XY ． n n 证：（1）因 | (X + Y ) − (X + Y ) | = | (X −X ) + (Y −Y )| ≤ | X −X | + | Y −Y |，对