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第二章 稳定性 2.1 运动稳定性的概念 2.1.2 运动及其稳定性 考虑系统 式中x?Rn, f是n维向量值函数,时间t?R,假定f充分光滑以保证方程有关的初值问题的解的存在唯一性以及解对初值的连续依赖性,为简单起见,假定解对所有t?R存在. 在上述假定下, 每一个初始状态x(t0)=x0确定唯一解. 为了表示该解是由初始条件t0, x0确定的, 常记为x(t)= x(t; x0, t0). 一个系统随初态不同有很多解, 设我们所关心的的一个运动为 g(t)= x(t; x0, t0) 称它为给定运动或未被扰运动. 若在受到扰动, 状态由x0变为 ,由 确定的运动 称为被扰运动. 定义1.2.1 在系统(2.1.1)的给定运动g(t)的某个邻域 中, 式中H0. 如果对于任意给定的正数?0(?H), 存在正数?= ?(?, t0), 使得对任意初态 , 只要 就有 其中 ,则称给定运动g(t)在t= t0是稳定的(在Lyapunov意义下). 上述表述也可以写成 其中 2) 若给定运动g(t)是稳定的, 且对充分接近g(t)的运动 还有 则称给定运动是渐近稳定的. 上述也可表述为：若?r(t0)0,对于满足 的任一初态 , ??0, ?T=T(?, t0, )0, 使得 t?t0+T? 3)若? ?00, ??0, ? , t1 t0, 使得 则称g(t)不稳定. 注1: 稳定性定义中只考虑g(t)的H-邻域中运动的性态. 也就是说稳定,渐近稳定都是局部的概念. 注2: 给定运动g(t)的稳定性实际上就是方程(2.1.1)的解对初始状态x0= x(t0)相对于所有的t?[t0,?)一致连续性: 例2.1.1 考察一维运动方程: 因此,得到给定运动方程为 而从 出发的运动为 ,因而有 若取?=?, 则当 时,? 且有 由定义可知,给定运动 是渐近稳定的. 若运动方程为 则由于 , 无论 如何小都有|x(t)-g(t)|??, (t ??). 因此g(t)不稳定. 例2.1.2 考察一维系统 解方程得到给定运动为 .若初态 , 则相应的解为 显然, 对? ?0, 取?=?, 则由 可知 因而g(t)稳定, 同时还有 所以g(t)还渐近稳定. 但是当t??时, 却有g(t)?-?, 即运动g(t)无界. 这说明运动的稳定性与运动的有界性不是一回事. 2.1.3 零平衡态的稳定性 平衡状态 给定系统 , 我们称满足 的点为系统的平衡状态, 也即解x(t)=xe(常向量), 所以平衡状态满足 2. 运动的扰动方程 考虑 y(t)=x(t)-g(t), 式中g(t)是从x0出发的给定运动, x(t)是从 出发的被扰运动, 称为初始扰动, y(t)称为扰动. 由于g(t), x(t)都是运动方程的解, 因而给定运动g(t)的扰动方程 满足: 且有F(0,t)=0. 这样我们得到: 系统 的给定运动g(t)的稳定性, 等价于给定运动g(t)的扰动方程 的零平衡态的稳定性. 因此, 我们只需研究扰动方程 零平衡态的稳定性. 3. 稳定性定义的改述 由于对运动稳定性的研究归结为对零平衡态稳定 性的研究, 因此稳定性的定义我们改述为关于零平衡态—原点的各种稳定性的定义. 定义2.1.2 给定系统 f充分光滑以使通过任一点(x0,t0)存在唯一解. 考虑原点的H-邻域||x||H. ??0(?H), ??= ?(?, t0), 使得 ?||x(t)||?, ?t?t0, 则称原点—零平衡态x=0稳定. (其中x0是初始扰动, x(t)=x(t; x0,t0)是扰动运动. 2)若 1)x=0是稳定的, 2)对充分接近平衡态x=0的每个运动有 limt??||x(t)||=0 则称平衡态是渐近稳定的. 严格地说：?r=r(t0)0, ??0, ?T=T(?, t0, x0)