振动第一章.ppt

作业： 1、对c图中单自由度系统进行受力分析，写出动力学方程。 2、求出齐次方程的通解 3、求出非齐次方程的特解和通解 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 (2) 临界阻尼情况 特征方程有一对相等实根，故通解： 图 质量块对初始条件 的临界阻尼响应 结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 (3)欠阻尼情况 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 阻尼振动频率 或： 欠阻尼系统的自由振动响应: 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 自由振动曲线(欠阻尼) 振幅按指数规律 衰减； 自由振动具有等时性，即相邻两个正（负）峰值之间的时间间隔均为: 阻尼固有周期 自由振动为非周期振动； 3. 欠阻尼振动特性： 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢 相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。 当系统阻尼比较小时，有： 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 图 阻尼对欠阻尼系统自由振动的影响 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 思考：应将仪表盘的指针系统设计成临界阻尼系统还是过阻尼系统？ 解: 例: 有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。试验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比和阻尼器的阻尼系数。 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 例:试证明，在衰减振动中，振系每周耗散的机械能 ，与每周开始时的机械能 之比为常量，在阻尼很小时等于 。 证： 设一周开始时的振幅为 ，一周末的振幅为 ，则对应的机械能为 证毕。 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 例: 图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量， 。求系统绕o点小幅摆动的阻尼固有频率和临界阻尼系数。 图 摆振系统的小幅振动 解： 广义坐标： 正方向：顺时针 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 动量矩定理： 第一章：单自由度系统的振动 1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动 STOP 1. 系统阻尼比的定义是： 2. 阻尼固有频率的定义是： 3. 欠阻尼自由振动响应是： 4. 对数衰减率为： 上次课复习 填空： 判断： 上次课复习 1. 单自由度欠阻尼系统的自由振动具有等时性，所以是周期运动； 2. 单自由度线性系统在一定初始条件下的自由运动与阻尼比 有关， 当 时为衰减运动；当 时是一种非周期运动； 3. 单自由度欠阻尼系统的自由振动频率为阻尼振动频率 。 ╳ √ √ 第一章：单自由度系统的振动 1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 图 力激励 图 位移激励 受迫振动:系统在外界控制的激励的作用下所发生的振动。 第一章：单自由度系统的振动 齐次方程通解： 受迫振动方程： 1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 1.如果 特解： 非齐次方程通解： 由初始条件和外力引起的自由振动部分 与外激励频率相同的受迫振动部分 待定常数： 第一章：单自由度系统的振动 1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 第一章：单自由度系统的振动 2.如果 特解： 非齐次方程通解： 特解的形式： 待定常数： 1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 与外激励频率相同的受迫振动部分 第一章：单自由度系统的振动 图 共振响应 1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 第一章：单自由度系统的振动 思考：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？ 1.实际系统都存在阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅。 2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是 线性微分方程了，而是非线性运动微分方程，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。 1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 例: 求图示系统在外激励作用下的响应， ,下面的解法是否正确？ 齐次方程的通解： 由初始条件得到： 所以齐次方程的通解为： 非齐次方程的特解为： 所以系统的响应为： 第一章：单自由度系统的振动 1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 第一章：单自由度系统的振动 1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 图 阻尼受迫振动系统 求齐次方程通解 1.简谐激励下受迫振动的解 运动