《典型例题_概率论》.docVIP

第一部分 随机事件及其概率 例 1 设为三个随机事件，试用表示下列事件。 1）“发生，而不发生”（表示为）； 2）“三个事件都发生”（表示为）； 3）“三个事件至少有一个发生”（表示为）； 4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为）； 5）“三个事件至少有两个发生”（表示为或） 6）“三个事件至多有两个发生”（表示为或）。 例2 将只球随机地放入（≥）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。 解： 设事件=“个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件“指定其中一个盒子装一只球”。 1）一个球放入个盒子中的放法有种，个球放入个盒子中的放法有种。假设固定前个盒子各装一球，其分配方法有种，从个盒子中任取个盒子各装一球，取法有种，所以，事件的样本点数为，即事件的概率为 2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有种，其次，剩余的个盒子中，只球的放法有种，所以事件的样本点数为，即事件的概率为 注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“个人中至少有两人的生日相同”的概率。设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，个人好比‘只球’，考虑事件的对立事件=“个人在一年中生日全不相同”，它等价于“个球装入365个盒子中各装一球”，由前面的计算知：，所以。 类似的问题还有：将3封信随机投入4个邮筒，计算第2号邮筒恰好投入1封信的概率，请读者思考。 例3（匹配问题）某班个战士各有1支枪归个人保管使用的枪，这些枪外形完全一样，在一次紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率。 解：设“第i个战士拿到自己的枪”， …… 注：类似的问题还有：个同学聚会各带一件礼物，用抽签的方法分配礼物，求至少有一人抽到自己的礼品的概率。? 第二部分 条件概率、独立性、全概率公式 例1 某城市的一项调查表明：该市有30%的中学生视力有缺陷，7%的中学生听力有缺陷，2%的中学生视力和听力都有缺陷，问 1)如果已知一个中学生的视力有缺陷，那么他听力也有缺陷的概率是多少？ 2)如果已知一个中学生的听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？ 解：记=“中学生视力有缺陷”， =“中学生听力有缺陷” 则 ， 例 2 设某人忘了某电话号码的最后一位数字，因而随意拨码，求他拨码不超过3次接通他所需要的电话的概率。 解： 设=“拨码不超过3次而接通”，=“第次拨码接通”，。 则 该问题与摸奖问题是关联的，设想10个人依次摸10张券，其中只有一张奖券，无放回摸取，第一、第二、…第十人摸到奖券的概率都是。这充分说明抓阄的合理性。 例3 假设某产品成箱包装，每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。求： 1）检验一箱产品能通过验收的概率； 2）已知取到的一箱产品通过了验收，抽检到一件次品的概率； 3）检验10箱产品通过率不低于90%的概率。 解：1）设=“一箱内有件次品”，，显然事件互斥，构成一个完备事件组。 设事件“一箱产品通过验收”，=“抽到一件正品”。欲求 依题意， 运用全概率公式，得 再次运用全概率公式 2） 这说明通过了验收而抽查到次品的可能性只有约1.12%。 3）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设10箱产品中通过验收的箱数为，并且通过验收的概率为，10箱产品的通过率为，根据二项概率公式，得到 因为检验10箱产品通过率不低于90%，等价于，即。所求概率为 该题目体现了全概率公式、贝叶斯公式和二项公式的综合应用。 ? 第三部分 一维随机变量及其分布 例1. （电力供应问题）有9台设备，间歇地使用电力。设在任一时刻每台设备都以同样的概率0.3需要一个单位的电力，且各设备是否需要电力相互独立，求有3台设备同时需要供应一个单位电力的概率。 解： 设X表示任一时刻同时需要（一个单位的电力供应）的设备数，则，其中，，于是有3台设备同时需要供应电力的概率为 例2 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可用参数为的泊松分布来描述。为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该种商品（设只在月底进货）？ 解: 设该商品每月销售该商品X件，月底存货为a件，那么当时就不会脱销。现要求a，使，又因，即使得 经计算可知：， 故只要保证存货不低于14件就能以95%以上的概率保证不脱销。 例3 设一大型设备上某元件在任何长为x的时间内损坏（立即替换新的）数N(x)服从参数为的泊松分布，（1）求该种元件使用寿命X的密度函数。（2）求使用寿命超过a（小时）的概率。 解 （1