FE-Ch13结构动力学问题有限元法.ppt

Instructors Guide Introduction to ANSYS 5.3 Chapter II: Finite Element Analysis (FEA), Lesson 1: The Finite Element Analysis (FEA) Method 第13章 结构动力学问题的有限元法 第一节 结构系统的动力学方程式 三、单元质量矩阵和阻尼矩阵的坐标变换 第二节 结构的无阻尼自由振动方程式 第三节 单元质量矩阵 第四节 单元阻尼矩阵 第五节 求解自由振动问题简例 第六节 特征值问题及其解法 三、雅可比方法 第七节 振动系统动力响应计算 1、标准特征值问题的雅可比方法 2、广义特征值问题的雅可比方法 在有限元法中，结构在外加激振作用下的运动方程式如下式。 为了避免文字符号的重复，本节将其该记为 结构动力响应计算可以分为两类，一是以系统主模态（主振型）为基础的方法，如振型叠加法；二是数值积分的方法，如逐步积分法。 一、振型叠加法 振型叠加法适用于阻尼矩阵C可以对角化和激振力不太复杂的情况。 1、激振力为简谐力 对于式（13.7-1），若激振力为 （13.7-1） （13.7-2） 式中，?为激振力的圆频率；t为时间。可假定强迫振动时的振幅为 因而 （13.7-3） （13.7-4） （13.7-5） 将式（13.7-2）? （13.7-5）代入式（13.7-1），得 （13.7-6） 对于给定的? ，式（13.7-6）代表一组相互耦合的n个方程式，有n个未知数?i ，必须联合求解。 位移用模态坐标来表示，有 （13.7-7） 式中，{?i}（i=1,2,…,n)是已经求出的结构无阻尼自由振动时，进行规格化处理后的特征向量；qi称为参予因子。 由于绝大部分高阶振型的参予因子都是小的可以忽略不计，因此式（13.7-7）改写为 式中，mn （13.7-8） 将式（13.7-8）代入式（13.7-1），得 （13.7-9） 用?T前乘上式各项，得 根据弹性主模态的正交特性有 （13.7-10） 这样就可以把广义质阵和广义刚阵对角化，即有 （13.7-11） （13.7-12） 对于广义阻尼矩阵，如果不考虑结构阻尼，则有 令 （13.7-13） （13.7-14） 将式（13.7-11）? （13.7-14）代入式（13.7-10），得 （13.7-15） 展开此微分方程组可以看出，各个变量qi之间已没有耦合，原方程组已被分解为个互相独立的单自由度振动系统的运动方程式。 （13.7-16） 分别对这m个微分方程式进行求解，就可以得到m个qi。 将式（13.7-2）代入式（13.7-14），得 （13.7-17） 代入式（13.7-16）得 （13.7-18） （13.7-20） 式中 从而求得 （13.7-22） 当求得所有m个qi后，有 （13.7-23） 把q代入式（13.7-8）得 （13.7-24） 第i个自由度位移 （13.7-25） 2、激振力为非谐和的周期性激振力 对于一个非谐和的周期性激振力，可以用“谐波分析”方法把它分解为若干个频率成整数倍关系的简谐激振函数。在根据叠加原理，获得结构系统总的响应。 二、逐步积分法 *Introduction to ANSYS - Release 5.5 (001128) 定义 动态特性：这里主要指机构的固有频率及其相应的振型，以及在随着时间而变化的外加激振力的激励下，机构被激起的位移、应力，或称为被激起的动力响应。 静态响应：机构在不随着时间而变化的外载荷作用下所产生的变形（位移）和应力称为静态响应。 静力学和动力学：研究结构静、动态特性计算分析的学科。 一、位移、速度和加速度 在结构振动时，单元上任意点的位移不仅是坐标的函数，而且是时间t的函数。因此位移对时间的一阶导数、二阶导数分别为速度和加速度。位移可以分解为三个坐标轴方向的分量，速度和加速度也可以分解为三个坐标轴方向的分量，即有 在静力学中，单元上任意点的位移函数可以写为以形状函数作为插值基函数，以节点位移为参数的插值多项式。 （13.1-1） （13.1-2） （13.1-3） 但是，在动力学中，式（13.1-1）的关系不成立。当划分的单元数目增多，因而有足够的节点位移时，式（13.1-1）还是位移函数的一个很好的近似表达式。这时的节点位移应有结构的动力学方程式来确定。 （13.1-4） （13.1-5） 二、单元动力学方程式的推导 单元动力学方程式可以从虚功方程进行推导。 在动载荷作用下，对于任一瞬时，假定单元的任一点得到虚位移，且该点产生了与虚位移相协调的虚应变，此时虚应力在虚应变上作的虚功为： 在动力学问题中，外力除施加在节点上与时间有关系的激励外载荷外，还包括惯性力和阻尼力。