数值计算方法 刘玲 第6章 常微分方程数值解法新.pptVIP

第6章 常微分方程数值解法 目 录 6.1 初值问题的Euler方法 6.1.1 Euler方法 6.1.2 误差概述 6.1.3 数值稳定性分析 6.2 Runge-Kutta方法 6.2.1 二阶R-K方法 6.2.2 四阶R-K方法 6.2.3 R-K法的稳定性 6.2.4 一般显式单步法的收敛性 6.2.5 隐式R-K法 6.3 线性多步法 6.3.1 基于数值积分的方法 6.3.2 基于Taylor展开式的方法 6.4 一阶常微分方程组数值解法 6.5 常微分方程边值问题的数值解法 6.5.1 差分方程的建立 6.5.2 打靶法 6.6 MATLAB程序代码与算例 绪论 在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。 6.1 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 6.1.2 误差概述 误差概述 误差概述 误差概述 6.1.3 数值稳定性分析 数值稳定性分析 定义6.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区域包含hλ平面上的左半平面Re(hλ)＜0，则称该方法是A稳定的。 隐式Euler法是A稳定的。 6.2 Runge-Kutta方法 Runge-Kutta方法 Runge-Kutta方法 Runge-Kutta方法 6.2.2 四阶R-K方法 四阶R-K方法 6.2.3 R-K法的稳定性 R-K法的稳定性 R-K法的稳定性 6.2.4一般显式单步法的收敛性 6.2.5 隐式R-K法 隐式R-K法 隐式R-K法 隐式R-K法 隐式R-K法 6.3 线形多步法 单步法主要依据yn的信息去计算yn+1。线性多步法是想依据yn，yn-1…，yn-r(r≥1)的信息去计算yn+1。 考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为 6.3.1 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 Adams预估—校正法 预估 校正 并取 6.3.2 基于Taylor展开式的方法 基于Taylor展开式的方法 基于Taylor展开式的方法 6.4 一阶常微分方程组数值解法 在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。 由此可知，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。 6.4.1 解一阶常微分方程组的R-K方法 一阶常微分方程组的R-K方法 一阶常微分方程组的R-K方法 一阶常微分方程组的R-K方法 一阶常微分方程组的R-K方法 一阶常微分方程组的R-K算法 一阶常微分方程组的R-K方法 6.4.2 刚性方程组 刚性方程组 刚性方程组 6.5 常微分方程边值问题的数值解法 设二阶线性常微分方程为 常见边界条件有三类： 6.5.1 差分方程的建立 差分方程的建立 差分方程的建立 差分方程的建立 算法 二阶常微分方程边值问题的差分算法 例题 例6.5.1 用差分法求解边值问题 例题 前面介绍了两大类微分方程数值解法：一类是用差商近似导数得到的尤拉系列公式，另一类是基于平均斜率概念的Runge—Kutta公式。基本思想都是通过某种离散化手续，将微分方程转化为差分方程（代数方程）来求解。 Q. 这种转化是否合理？要看差分问题的解yn当h?0时是否收敛到微分方程的解y(xn),即是否成立 yn ? y(xn)， h?0. -----收敛性问题 收敛性 定义 　　　 若某算法对于任意固定的 x = xi = x0 + i h，当 h?0 ( 同时 i ? ?) 时有 yi ? y( xi )，则称该算法是收敛的。 例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 解：该问题的精确解为 欧拉公式为 对任意固定的 x = xi = i h ，有 ? 显式单步法的收敛性 (1) 而整体截断误差为 证明: