理论力学Ⅱ第2版 蔡泰信 和兴锁 等编著 19刚体动力学新.PPTVIP

C r D ? aN aR O h 90o v aR = ? ×r —— 转动加速度 aN = ω × v ——向轴加速度 aR=α r sin (α, r)= PB · ω = h ω aN= ω v sin (ω ,v) = PA · ω =ω2 h aR的方向垂直于α 和 r 所组成的平面，指向α的转动方向； aN同时垂直于 v 和 瞬轴，恒指向瞬轴。 ω h A B 19.2 刚体定点运动的运动学 例19-2 截头圆锥O1在水平圆锥环形固定支座上滚动而不滑动，如图所示。设圆锥O1的半径O1A等于R=10 cm，顶角2? =90o，又圆锥底面中心O1的速度vO1=20 cm·s－1。试求圆锥O1的铅垂直径两端A和B的加速度。 O1 A B O O2 ? 19.2 刚体定点运动的运动学 圆锥O1滚动而不滑动，与固定支座相接触点A的速度等于零，即vA=0。因此，通过定点O与点A的直线OA就是圆锥O1的瞬轴，如图所示。圆锥O1绕瞬轴转动的角速度矢ω也是沿OA，指向如图，大小等于 常数 矢端的速度大小等于半径ωcosφ与杆OO1角速度vo1／OO1的乘积。这速度等于 即圆锥O1的角加速度；考虑到 解： O1 A B O O2 C φ vB vO1 ω 得圆锥O1绕瞬轴转动的角加速度大小 19.2 刚体定点运动的运动学 求得了ω和α后，点A和B的加速度即如下可求出。A是瞬轴上的点，vA=0，因而向轴加速度aA2= ω×vA 。可见，A点的加速度等于它的转动加速度，即 其大小 y x z O C A B O1 α ω α vO1 它在平面Oyz内，且垂直于母线OA。 aA O1 A B O O2 C φ vB vO1 ω 19.2 刚体定点运动的运动学 z y x O C A B O1 α ω α vO1 aA B点到瞬轴的距离为2Rcosφ ，故其速度大小为vB=2 ωRcosφ 。B点的加速度可分解为 它在平面Oyz内，且垂直于母线OB，向轴加速度aB2的大小为 其中，转动加速度aB1的大小 aB1 aB2 aB 方向垂直于瞬轴OA，并指向这轴。 O1 A B O O2 C φ vB vO1 ω 19.2 刚体定点运动的运动学 代入题设数据，则得所求圆锥O1的铅垂直径两端A和B的加速度大小 因为aB1 和aB2这两个加速度分量的交角为 ，由平行四边形法则可得B点的加速 度大小 O1 A B O O2 C φ vB vO1 ω z y x O C A B O1 α ω α vO1 aA aB1 aB2 aB 19.2 刚体定点运动的运动学 ? 定点运动刚体的动量矩 ? 定点运动刚体的欧拉动力学方程 19.3 刚体定点运动的欧拉动力学方程 19.3.1 定点运动刚体的动量矩 定点运动刚体对定点O的动量矩，等于刚体内所有质点对点 O的动量矩的矢量和，即 将上式投影到坐标轴x、y、z上，得 (19-14) (19-15) 19.3 刚体定点运动的欧拉动力学方程 整理后得 而 以上两式是定点运动刚体的动量矩的一般表达式。 (19-15) (19-16) (19-17) 19.3 刚体定点运动的欧拉动力学方程 如果坐标轴x、y、z 与刚体在O 的三个惯性主轴重合，则三个惯性积 Jxy=Jyz=Jzx=0，则式（19-16）可简化为 (19-18) 这时动量矩LO可写为 (19-19) 的对应投影之间不成比例，因此LO与ω不共线。如果刚体只绕点O 的一根惯性主轴转动时，则 LO与ω不共线。 在一般情况下，刚体的三个主转动惯量Jx, Jy和Jz 并不相等，因此由上式可知，动量矩 LO与角速度矢 19.3 刚体定点运动的欧拉动力学方程 现在把对定点O的动量矩定理 19.3.2 定点运动刚体的欧拉动力学方程 投影到以角速度?绕点O转动的动坐标系Oxyz，的各轴上。刚体对点O的动量矩LO、角速度?以及作用在刚体上的外力对点O 的主矩 MO 都可用各自在动轴Oxyz，上的投影表示，即 (19-21) (19-22) (19-23) 19.3 刚体定点运动的欧拉动力学方程 式(19-21)和式（19