线性代数第3版 作者 陈建华 15习题课.pptVIP

* * 习题课——行列式计算方法小结： 利用行列式的定义； 化三角形法； 拆行(列)法； 4. 按某一行(列)或某k行(列)展开； 5.利用范德蒙行列式的结论； 6.数学归纳法； 7. 递推法； 8. 加边法(升阶法)。 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 第一章 行列式 例1. 计算n阶行列式 [分析] 0较多,用行列式定义或展开定理. 解(一)由行列式定义 (二)按第一列展开此行列式, 得 第一章 行列式 ＝9 ? ！ 化上三角形 例2.计算 (1) 第一章 行列式 ＝9 展开降阶 例2.计算 (1) ＝－ ＝3 第一章 行列式 =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12 (3) =160 4阶“范德蒙行列式”! (2) 例3.证明 证明: 法一: 左＝ ＝右 法二: 左 ＝右 解: D 每行元素之和相同，2——n列加至首列 例4.计算 注:本题首行乘以(-1)加至2至n行可得箭形行列式 例5 计算行列式 [分析]每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后无法通过2至末行减首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式. 解： 例6 计算 解: [分析]首行乘以(－1)加至2至n行可得箭形行列式 例7. 解方程 解法(一)末列×(-ai)加至第i列(i=1,2,…,n)得上三角形. (二)末行×(-1)加至1至n行, 再由行列式定义或按末列展开.(三)末行起,每行减其上行,再由行列式定义或按末列展开.(四)方程为一元n次方程,最多有n个实根,而当x =a1,a2,…,an时,方程左边行列式两行相同,值为0,方程成立,故为根. 1.2例解方程 例8 计算 (P20) 特点: “0”多 方法: 降阶找递推公式 0 0 0 0 解：法(一) 按第1行展开，再 解：法(一) 按第1行展开, 再 递推公式: ＝adD2(n-1)－bcD2(n-1) ＝(ad－bc)D2(n-1) D2n＝ (ad－bc)D2(n-1) ＝(ad－bc)2D2(n-2) ＝(ad－bc)n-1D2 ＝(ad－bc)n ＝… 按末行展开，有： 法(二)按中间两行展开——拉普拉斯定理, 重复此步骤. 法(三)d＝0,用定义；d≠0, 化下三角形行列式. ＝(ad－bc)D2(n-1) ＝(ad－bc)2D2(n-2) ＝(ad－bc)n-1D2 ＝(ad－bc)n ＝… 例9 解:按首行(列)展开, 变形为: ① ＝… 后一行列式再按首列(行)展开得 Dn-2 第一章 行列式 ② ①、②消去Dn-1得 时 由①得 ＝… 按另一种方式变形为: ① =… [注] 本题换作证明题则简单些： 第一章 行列式 证明n阶行列式(其中a≠b) 证 用数学归纳法： 结论成立； 结论成立； n=1,D＝a+b＝ n=2,D＝a2 +ab+b2＝ 第一章 行列式 设n≤k-1时结论成立, 即 按首行(列)展开, 后一行列式再按首列(行)展开得 Dk＝(a+b)Dk-1-abDk-2 故命题成立. 则 例10 计算 (P22) (一) 2至n列加至首列,再2至n行减首行得上三角. (二)2至n行减首行得箭形行列式 (三)加边(升阶)法: 解： 箭形行列式 第一章 行列式 例11 主对角线上元素去掉1,则各行分别有公因子x1, x2,…,xn, 提取公因子后各行元素都是x1, x2,…, xn,故考虑“加边法” 第2行减去第1行的x1倍,第3行减去第1行的x2倍,…,第n+1行减去第1行的xn倍. 第一章 行列式 箭形行列式 第一章 行列式 (－1) mnab 设 则 (一)按前n行展开得 (二)B的第一行逐行向上交换经n次至C的首行, B的原第二行逐行向上交换经n次至C的第二行,…,直至B位于C的左上角, 得 (92考研试卷四 ) 1-a+a2-a3+a4-a5 (96考研试卷五 ) (一)2－5列加至首列, 按首列展开, 得同型四阶行列式再2－4列加至首列, 按首列展开, 三阶行列式对角线法则展开易得. (二)从末列起, 每列加至前列, 所得行列式从首列起, 每列×(-a)加至后列, 即得下三角形行列式. (－1)n－1(n－1) (97考研试卷四 ) 2－末列加至首列，再2－末行减首行，即得上三角形行列式。 第一章 行列式 (99考研试卷二) 方程 2－4列减首列，再2列加至4列： 根的个数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3