《【备战2014中考数学专题讲座】第25讲：动态几何之定值问题探讨》.docVIP

福州五佳教育锦元数学工作室 编辑 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 16～18讲，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 19～21讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，22～26讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。 结合2013年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。 一、线段（和差）为定值问题： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年云南昆明3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论： ①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有【 】 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B。 例2：（2013年山东菏泽3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　 ▲ 　． 【答案】12。 例3：（2013年黑龙江绥化8分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 【答案】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。 ∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。 ∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。 ∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。 ∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC。 （2）CF﹣CD=BC。 例4：（2013年云南昭通附加题14分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系． AC、CF、CD之间存在的数量关系为AC=CD﹣CF。 例5：（2013年湖北孝感12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）； （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）． ①AE=EF是否总成立？请给出证明； ②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线上，求此时点F的坐标． 【答案】解：（1）如图，取AB的中点G，连接EG，则 △AGE与△ECF全等。 例6：（2013年江苏南通1