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第一章 距离空间 1.1 距离空间的定义和例子 1.2 距离空间的拓扑 1.3 距离空间的稠密性 1.4 距离空间的可分性 1.5 距离空间的完备性 1.6距离空间的紧性 1.7 不动点定理及其应用 常用的几个公式 赫尔德不等式：p,q1,1/p+1/q=1,则 等号相等当且仅当它们线性相关 常用的几个公式 Minkowski不等式：设p不小于1,则 等号相等当且仅当它们线性相关 例子 以出租车距离定义的平面距离空间; 序列空间 函数空间C[a,b]; 离散距离空间; R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合（总数为8）,元素x，y的距离是x，y中不同的对应分量的个数。 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。 距离空间的拓扑 空间引入距离，才有了空间上映射的连续性概念（开集的原像是开集） 称X的子集B(x,r)={y;p(x,y)r}为以x为心半径为r的开球 称X的子集S(x,r)={y; p(x,y)=r}为以x为心半径为r的球面 注：在研究距离空间中，沿用了大家熟悉的欧式空间中类似的术语，有着很大优越和方便之处，但并不完全一致。如:离散距离空间中的球面只有两种可能：空集或全空间 其他概念：聚点、闭包、有界集、拓扑空间 注：A的闭包是包含A的最小的闭集，A是闭集当且仅当A与其闭包相等，取闭包运算满足分配律。 设A是X的子集，x是X中定点，x与A的关系： 1. x“附近”全是A中的点（内点） 2. x“附近”没有A中的点（外点） 3. x“附近”有A中点也有不是A中点（边界点） 4. x的任意邻域都含A-{x}中点（A的聚点） 5. x的某个邻域不含A-{x}中点（孤立点） 练习：设X是距离空间，A,B是X的子集，则 距离空间上的连续映射 概念：映射T在x点连续；连续映射；同胚 T在x处连续的判定：定义，海涅定理 T是连续的判定：开集的原象是开集；闭集的原象是闭集；定义 同胚的几何解释：拓扑空间的拓扑性质在同胚变化下是保持不变的 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y的映射T是连续映射。 空间的完备性的判定 欧式空间、C[a,b](按极大模)都是完备的。（后者的证明用到函数列收敛的有关结论） 距离空间的完备子空间是闭集，一个完备的距离空间的闭子空间是完备的 闭球套定理：给出了距离空间X是完备的一个充分必要条件。 例子 实直线、复平面都是可分的完备的距离空间 离散距离空间X是可分的当且仅当X是可数集 L^p[a,b]（p1）在上面定义的距离意义下都是完备的、可分的 不可分距离空间，例如有界序列空间 （利用[0，1]中点是不可数多个） C[a,b]按L^1距离就不是完备的,它的完备化空间是L^1（存在连续函数序列，L^1收敛到不连续的可积函数） 有理数点构成的距离空间也不完备 距离空间的完备化 我们知道有理直线Q是不完备的，但可以扩展为完备的实直线R。 空间不完备时，考虑问题就要特别小心，将不完备空间完备化是个有意义的工作 处理方程解的存在性问题时，在不完备的距离空间中解方程，即使近似解的序列是基本列，也不能保证该序列有极限，从而不能保证方程在该空间内有解。 我们还希望完备化后得到的空间能是唯一的最好，相差不多也好。 等距映射、距离空间X，Y是等距的 等距映射一定是同胚的；等距的距离空间，由距离导出的性质全一样，故当仅限于考虑与距离有关的性质时，彼此可以不加区分。 距离空间的紧性 设A的距离空间X的子集，称A是紧的，如果A的任意一个开覆盖都存在有限子覆盖（如果A中任意一个序列都存在一个子列收敛于A中某点）；称A是列紧的，如果A中任意一个序列都存在一个子列收敛于X中某点。 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧）空间。 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的，也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是紧空间，有界开集N是列紧的。 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。 距离空间的紧性 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意r0，都有A中有限个点，满足以其为心，r为半径的开球的并覆盖了A。 相关结论：1.全有界集是有界的，可分的； 2.列紧集是全有界的；（反证法） 3.若X是完备距离空间，列紧等价于全有界。 C[a,b]的子集A是列紧的充要条件是A是一致有界且等度连续的。 距离空间的紧性 设X是距离空间，则下述结论成立 1. X是紧的当且仅当X是列紧的 2. 紧空间X的闭子集M是紧的。 3