求解非线性不适定问题的正则化同伦方法.pdfVIP

第 22 卷 　第 5期 黑 龙 江 大 学 自 然 科 学 学 报 Vo l22 No5 　 　 2005年 10月 　　 JOURNAL OF NA TURAL SC IENCE OF H E ILON GJ IAN G UN IV ER SITY O ctober, 2005 　　　　　　 求解非线性不适定问题的正则化同伦方法 韩 　波 , 　付又和 (哈尔滨工业大学 数学系 ,黑龙江 哈尔滨 15000 1) 摘 　要 : 基于同伦方法的思想 ,设计了一种求解非线性不适定问题的全局收敛的方法 - 正则 化同伦方法 ,研究了方法的正则化性质 , 以及全局极小点对正则参数的连续依赖性. 关键词 :非线性不适定问题 ; 正则化方法 ; 同伦方法 中图分类号 : O24 15 文献标识码 : A 文章编号 : 100 1 - 70 11 (2005) 05 - 0659 - 05 1　引　言 用来求解非线性不适定问题的方法主要有 Tikhonov正则化方法 [ 1 - 3 ] 和正则化的迭代法 [ 4 - 6 ] . 其中 ,为了 得到正则化迭代法的收敛性结果 ,往往要对算子加上很强的限制条件 ,而现实问题当中又很难验证这些条 件. 对 Tikhonov正则化方法而言 ,只需要对算子加上较弱的限制条件 ,就可以得到方法的收敛性结果. 但是 在使用 Tikhonov正则化方法的时候 ,通常会遇到两个困难 :第一 ,正则化参数难以选取 ;第二 ,泛函中存在大 量局部极小 ,导致全局极小点难以计算. 针对上述问题 ,本文利用同伦方法的思想 ,类似于 Tikhonov正则化方法 ,构造了一个稳定泛函. 在该泛 函中 ,正则化参数可同时起到同伦参数的作用. 从而得到一条连接选取初值与要求的近似解的曲线 ,采用合 适的方法跟踪这条曲线就可最终求出原问题的近似解 ,从而得到全局收敛的方法. 同时 ,按照一定的收敛准 则可以得到恰当的正则化参数. 文中证明了在一定条件下 ,该泛函的全局极小点确实是一个正则化解. 同时也证明了全局极小点对正则 化参数的连续依赖性 ,从而为以后的方法设计提供了重要的理论保障. 2　正则化同伦方法 要求解的是如下的非线性不适定算子方程 ( ) ( ) F x = y 2 - 1 其中非线性算子 F : X →Y, X , Y为 H ilbert空间. 在实际问题当中, 右端数据通常是通过测量得到的, 不可避免 δ 地存在误差. 假设能得到具有误差水平为 的右端数据 ‖yδ - y ‖≤δ (2 - 2) ( ) 由于非线性算子方程 2 - 1 是不适定的, 故需采用正则化的方法. 类似于 Tikhonov正则化方法, 设 x 是方 0 0 ( ) ( ) 程 2 - 1 的 x - 最小距离解 即当方程 Fx = y 的解不唯一时, x 是与