pi的计算-精品.pptVIP

圆周率π的计算 所谓“圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。 回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。” 直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。 实验时期 基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。 在古代世界，实际上长期使用π＝3这个数值。 最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。 几何法时期 在中国 刘徽：公元263年前后，刘徽提出著名的 “割圆术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形……，一直到正三○七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。 在中国 祖冲之:　在刘徽研究的基础上，进一步地发展，经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正24576边形，而得到一个结论： 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 同时得到π 的两个近似分数：约率为22／7；　　 密率为355／113。 他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。 分析法时期 这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算π。 1593年，韦达给出 接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出： 计算机时期 1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了电脑时代。电脑的出现导致了计算方面的根本革命。1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时。计算机的发展一日千里，其记录也就被频频打破。 1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位。1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。 目前保持的是圆周率小数点后12411亿位数，是金田康正与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他一九九九年九月计算出的小数点后二千零六十一亿位提高了六倍。圆周率小数点后第一兆位数是二，第一兆二千四百一十一亿位数为五。 如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完。 现在打破记录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了。实际上，把π的数值算得过分精确，应用意义并不大。现代科技领域使用的π值，有十几位已经足够。如果用鲁道夫的35位小数的π值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值： “十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。” 虽然计算π的精确值已经没有实际意义了，但是研究它的计算方法及相应算法的收敛速度还是很有必要的。 利用当今有效的数学计算软件也可以直接得到圆周率小数点后的若干位。但是，必须明确：无论用什么样的数学软件直接得到圆周率的近似值，它的后台程序还是对应着一个较为有效的圆周率的计算方法。 所以，我们介绍圆周率的计算，目的是让大家了解一些相关近似计算的方法，而不是为了试图获得小数点后更多的位数。 试想想： 如果你来计算圆周率π，你怎么做？ 5. 繁分数计算法 无理数e的近似计算 例 3 假设有人在银行存款1000，银行的利率是一年100%．期间可以按实存时间结算，仍然保持年利率不变．请你帮忙替该储户计算，分别按年存取、按月存取、…… 以及按小时存取等，储户一年后应得本息是多少？ 下面分别按年、半年、月、日、小时、分