弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶_第九章.pptVIP

§9-1 有关概念及计算假定 薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。 当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面， 称为薄板弹性曲面。 小挠度薄板─这种板虽然薄，但仍 有相当的抗弯刚度。它的特征是： 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 1 在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。 ⑶ 从计算假定1、2，得出 故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩， 并且成为弹性曲面的法线。 1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这三个计算假定？ 2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？ §9-2 弹性曲面的微分方程 具体推导如下： 1. 取挠度 为基本未知函数。 应用几何方程及计算假定1， 2. 将 ， 用 表示。 应用几何方程及计算假定2， ∴ 对 积分， 又由计算假定3， 故 得： 3.主要应变 用 表示。 应用其余三个几何方程，并代入式 a 得： ⑵ 按位移求解薄板弯曲问题，只取w为 基本未知函数。在导出求w的基本方 程中应用了三个计算假定，与材料力 学解梁的弯曲问题相似。 ⑶ 从上述推导过程可见,空间问题的6个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分 方程都已考虑并满足（其中应用了3个计 算假定）；并且在 的大边界 （板面）上，三个应力边界条件也已精 确满足。 思考题 §9-3 薄板横截面上的内力 §9－4　边界条件 扭矩的等效剪力 §9－5　四边简支矩形薄板的重三角级数解 纳维解答是用多种正弦波形 的叠加来表示挠度w的。对于各种形式的荷 载q ，均可方便地求出解答。它的主要缺 点是，只能适用于四边简支的薄板。 §9－6　矩形薄板的单三角级数解 1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？ 2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？ §9－7　矩形板的差分解 应用差分法求解薄板弯曲问题，是比较简便的。 例1 四边简支的正方形薄板， ，受到均布荷 载 的作用，试取 的网格，如图 ， 用差分法求解薄板中心点的挠度和应力 （取 ）。 对于 的正方形薄板，受均布荷载 作用，试取 的网格，分别求解下 列边界问题的中心点挠度，并进行比较： （1）四边简支； （2）三边简支，一边固定； §9－8　圆形薄板的弯曲 圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。 §9－9　圆形薄板的轴对称弯曲 上述的轴对称解答 b ，是轴对称弯曲的一般解，可以应用于一切轴对称弯曲问题。读者可参考教科书的解答和有关力学手册。 固定边椭圆板的边界方程为 四边简支矩形板，如图， 在 的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。 例题5 设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板，其内边界简支，外边界为自由，并受到均布力矩荷载M的作用，如图，试求其挠度和内力。 第九章 习题提示和答案 y x a b O F a 例题3 解： 板中的荷载只作用在 的线上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在 的线上，荷载强度可表示为 代入系数 的公式， n 1,3,5… 得出挠度为 四边简支矩形板，受静水压力作用， ，如图，试用单三角级数求解其挠度。 x y a O 例题4 解： 应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中§9－6式 d 右边的自由项，即 代入式 d ，方程的特解可取为 从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴， 应为 的偶函数，由此， 。于是 的表达式为 在 的边界，有简支边条件 将挠度 代入边界条件，记 ，得 解出 从而得挠度解答 发生在薄板的中心点的挠度为 与板上作用有均布荷载 的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由 的条件，求出最大挠度为 M M O z r R R r 解： 本题属于圆板的轴对称问题，可引用§9－9 中轴对称圆板的一般解。由于板上无横向荷载，特解 ，于是挠度为 代入内力公式，得 内外边界的四个边界条件为 将挠度及内力代入边界条件，求出 ， 最后得解答如下： 9－1 挠度w应满足弹性曲面的微分方程， x 0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件， 。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4。 求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的极值点（其导数为0）和边界点，从中找出其最大值。 思考题 首先将挠曲线微分方程变换为差分方程, 插分方程 对 点，即 固定边和简支边附近的w 值，如下图所示。 若AB为简