数学第一册 教学课件 张黎黎 第四章　任意角的三角函数.pdfVIP

第四章　任意角的三 角函数语 第一节　角的概念的推广　弧度制 一、角的概念的推广 我们在初中数学学习中已经知道,角可以看作是由一条射线 绕着它的端点从初始位置(始边)旋转到最终位置(终边)而成的( 如图4- 1)。 以前,我们接触到的是0°到360°的角。但是在数学研究、科学实 验、实际生活和生产中,我们常常会遇到大于360°的角。 图　4-1 例如,用螺纹扳手拧紧螺帽,当扳手(如图4-2)绕着支点逆时针 旋转一周以后,继续旋转就得到了一个大于360°的角。如果 继续旋转,就得到更大的角。我们也可以顺时针方向旋转扳 手,拧松螺帽。 为了区别不同旋转方向所形成的角,习惯上规定:射线绕着端 点逆时针方向旋转所形成的角为正角,顺时针方向旋转所形 成的角为负角。特别地,当一条射线没有旋转时,我们认为也 形成了一个角,这个角叫做零角,它的大小是0°。这样,角的概 念包含了:0°的角、任意大小的正角、任意大小的负角。 例1 作下列各角:405°、140°、-30°、-510°(如图4-3) 。 为了研究方便,我们把角和直角坐标系联系起来,通常使角的 顶点与坐标系的原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合。那 么角的终边所在的象限就叫做这个角所在的象限,或者说这 个角是第几象限的角。 例如图4-3 中的4个角405°、140°、-30°、-510°放在直角坐标 系中,可以看出分别是第一象限角、第二象限角、第四象限 角、第三象限角。 特别地,0°、90°、270°、360°这些终边在坐标轴上的角,我们 规定不属于任何象限的角。 　 图 4-4 从角的形成过程中,可以看到与某一个角α的终边相同的角有 无数个,它们与α都相差360°的整数倍。如图4-4所示,30°、39 0°、-330°的角终边都相同,它们的大小相差360°的整数倍。 因此,所有与角α有相同终边的角(包括α本身)可以表示为   例2 把下列各角化成k×360°+α(k ∈Z,0°≤α360°) 的形式,并 指出是哪一象限角。 (1)410°;(2)1010°;(3)-350°;(4)- 1080°。 解 (1)410°=360°+50° 因为50°是第一象限角,所以410°是第一象限角。 　 (2) 由于1010°除以360°,得商为2,余数为290°, 即　　　1010°=2×360°+290° 因为290°是第四象限角,所以1010°是第四象限角。 　 (3)-350°=-360°+10° 因为10°是第一象限角,所以-350°是第一象限角。 　 (4)- 1080°=-360°×3+0° 因为0°不属于任何象限,所以- 1080°不是象限角。 、 二 弧度制 我们已经学习用度、分、秒作为角的度量单位,这种度量的 制度叫做角度制。在数学和其他的科学技术工作中,还用到 另一种度量角的制度叫做弧度制。 我们知道1°的角的大小,是一个圆周角的 ,那么,1弧度的 角有多大?角度制和弧度制相互之间有什么关系?现在我们 就一起来研究。 1.弧度制 有一个半径为r 的圆,我们在圆周上的任一点A 处,取 的长 等于半径r(如图4-5), 所对的圆心角∠AOB 就叫做1弧度的 角,也就是说,长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧 度角,弧度的单位符号是rad 。由于圆的周长是2πr,所以周角 是2πrad 的角;在角度制里,1周角是360° , 因此可以得到:   图 4-5 360°=2πrad 180°=πrad 1°= rad ≈0.017453rad 1rad= °≈57.296°≈57°1745″ 角度制与弧度制是采用不同单位的角的度量制,利用上面的 关系式,就可以进行度与弧度的换算,例如 35°=35× rad ≈0.610865rad 3rad=3× °≈171.887°≈171°5313.2″ 为了方便计算,对于一些特殊角的度数和弧度数的对应关系 列表如下: 　　用弧度制表示角的大小时,通常省略“弧度”两字。例 如∠AOB=1就表示∠AOB=1rad;sin2表示2rad 的角的正弦。 如果α用弧度制表示,那么所有与角α有相同终边的角可以用 式子2kπ+