微积分 经济管理 教学课件 彭红军 张伟 李媛等编第十一章 微分方程 3幂级数.pdfVIP

第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 1 一、 函数项级数的概念 定义1：设 为定义在区间 I 上的函 数, 称： 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 2 定义2：对 若常数项级数 收敛, 为其收敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 发散 , 为其发散点, 所有发散点的全体称为其发散域 . 3 定义3：在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它为级数的和函数 , 并写成 若用 表示函数项级数前 n 项的和, 即 令余项 则在收敛域上有: 4 例如, 等比级数 它的收敛域是 有和函数: 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 5 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 称 为幂级数的系数 . 下面着重讨论 的情形, 即 例如, 幂级数 即是此种情形. 6 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 的一切x , 该幂级数也发散 . 收敛 发散 发 散 收 敛 发 散 7 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数M 0, 使 当 时, 收敛, 也收敛, 故原幂级数绝对收敛