西安交通大学硕士研究生1999年入学数学分析试题.doc

西安交通大学硕士研究生1999年入学考试《数学分析》试题 下边给出一组函数,请按照每题要求,从中列举出一个,并简要说明你的列举是正确的.(): (A) (B); (C); (D) (E) (F); (G); (H) (I) (J) 问题: ⑴在上处处有定义,但处处极限不存在的是 (A) . 事实上:,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得,.而,,因此不存在. ⑵在上有唯一连续点的是 (B) . 事实上:因为在上有界,,所以,从而在处连续.但且,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得,.而,,因此不存在. 从而在处不连续. ⑶在上仅有唯一可导点的是 (C) . 事实上:因为, 所以在处可导且. 但且,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得, . 而, , 因此不存在. 从而在处不连续,因此在处不可导. ⑷任意一点的任意邻域内均有间断点,且任一间断点的任意邻域内均有连续点的是 (D) . 事实上由于,有.所以在有理点处不连续,在无理点处不连续. ⑸在处的两个累次极限均存在,但二重极限不存在的是 (H) . 事实上,. 而,, 所以不存在. ⑹在处的两个累次极限均不存在,但二重极限存在的是 (F) . 事实上因为不存在,,所以不存在,因此不存在. 同理也不存在. 因为,而,所以. ⑺在处的偏导与存在但不连续,而在点可微的是 (I) . 由于因为不存在, 所以不存在. 又因,,所以, 故不存在,从而在不连续. 同理可得 在不连续.即函数的两个偏导数在原点都不连续. 因为 又因,. 所以, 即, 从而函数在原点可微,且. ⑻在处任意阶可导,但Taylor级数不收敛于它本身的是 (E) . 事实上由于,,所以在处的Taylor级数,. ()讨论下列各题: ⑴设 试讨论的取值范围,使得在处ⅰ连续;ⅱ可导;ⅲ导函数连续. 解:要使有意义,必须,其中为整数,为正奇数,且与互质.下面在此限制条件下进行讨论. ⅰ当时,不存在. 当时,因为,,所以.因此当时,在处连续. ⅱ当时,因为,所以在处可导. ⅲ由于 所以当时,的导函数连续. ⑵设,.试分别讨论Rolle定理的条件与结论对它们是否成立. 解:ⅰ由于,所以①在处不连续,但在上连续.②在内可导且.③.因此在上不满足Rolle定理的条件,同时结论也不成立. ⅱ由于,所以①在上连续.②在内可导且.在处不可导.③.因此在上不满足Rolle定理的条件,同时结论也不成立. ⑶设试讨论的连续性. 解:仅在处连续().事实上:ⅰ当()时, 由于,所以，从而 . ⅱ当()时,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得,.而 , , 因此不存在. 从而在处不连续. ⑷设,讨论其在内的收敛性,一致收敛性及内闭一致收敛性. 解:ⅰ当时,,因此在内的收敛于. ⅱ因为(),所以在内不一致收敛于零. ⅲ对任意的,因为(), 所以在上一致收敛于零,因此在上内闭一致收敛于. 设为上的可积函数,应如何延拓 到才能使其在 内的Fourier级数具有形式. 解：假设延拓后的函数为 其中都在相应的区间上可积.则在上是偶函数,因此 ,. 对于积分,令,则,当时,当时.于是 从而 , 因此,当时,有, 所以,取,则在 内的Fourier级数具有形式. ()计算含参变量广义积分:()之值.(要求写出理论依据) 解:记,. 因为,有.而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛. 因为,有.而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛. 因此可以在积分号下求导: , 即,积分得,去掉对数得. 又,所以.因此. ()试求矢径穿过曲面()的流量. 解:设..则: 为封闭曲面.根据高斯公式有 . 而. 故所求流量为. ()设,,.为不包含而包含与的有限平面区域 ⑴求出函数组的Jacobi矩阵; ⑵证明在内任一点处与函数独立,而函数,,函数相关; ⑶证明不存在函数关系在内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系); ⑷结论⑶与结论“,,在内函数相关”是否矛盾，给出你的解释. 证明: ⑴函数组的Jacobi矩阵为. ⑵由于在内,所以在内任一点处与函数独立. 令,则 , 因此,,函数相关. ⑶证明不存在函数关系在内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系); ⑷结论⑶与结论“,,在内函数相关”是否矛盾，给出你的解释.