研究生数值分析（3.ppt

* * 数值分析 第4章 非线性方程与 非线性方程组的迭代解法 主讲老师: 雷鸣 §1 非线性方程的迭代解法 设非线性方程 ，如果有数 使 ，则称 为方程的根，或称为函数的零点。 描述工程和科学技术实际问题的数学模型，通常都难以获得根的简单易用的显式表达式，因此，要研究求近似根的方法，并讨论这些方法的收敛性和收敛速度。 求方程近似根的问题，一般分两步进行： （1）求根的隔离区间。确定根所在的区间，使方程在这个小区间有且仅有一个根。所求的隔离区间越小越好。 （2）将近似根精确化。用求方程根的数值方法，使求得的近似根逐步精确化，使其满足给定的精度要求。 在方程求近似根的方法中，最直观、最简单的方法就是二分法。 设函数 在 上连续，严格单调，且 ，则 为 的一个有根区间。 对分法的基本思想是： 用对分区间的方法根据分点处函数 的符号逐步将有根区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且只有1个实根。 1 对分法 首先取 的中点 ，将区间 分为两半。若 ，则 就是 的实根 ；否则检查 与 是否异号，即是否 成立。 如果成立，则 必在 的左侧，这时取 ；否则 必在 的右侧，这时取 。这样，就得到一个新的有根区间 ，其长度仅是 的一半。 对于缩小了的有根区间 ，又可实施同样的 手续，即用中点 将区间 再分为两半， 然后判断 是不是根，并用 是否成立， 判断所求根 在 的哪一侧，从而确定一个新的 有根区间 ，其长度是 的一半。 如此反复下去，进行 次对分之后，就得到一组不断缩小的有根区间 从而 的长度 如果无限继续下去， 这些区间最终必收缩于一点 ，该点就是要求的根。 以 的中点 作为所求根的近似值， 则第 个根的误差估计式 对于所给精度 ，只要数 满足 则 就是一个满足精度要求的近似根。 例1：用二分法求方程 的非零实根的近似值，使误差不超过 。 解：因为 当 时， 为单调减少函数 又 ，因此 在 只有1个非零实根。由 求得 所以只要二分6次，才能得到满足精度要求的根。 因为 ，所以取 再令 ，则 如此继续下去，即得计算结果如下表。 记 ，令 ，则 因为 ，所以取 取 ，即可满足精度要求。 2(-) 2(-) 2(-) 1.95(-) 1.95(-) 1.9375(-) 1.9375(-) 1.8(+) 1.9(+) 1.95(-) 1.925(+) 1.9375(-) 1.93125(+) 1.934375(-) 1.6(+) 1.8(+) 1.9(+) 1.9(+) 1.925(+) 1.925(+) 1.93125(+) 0 1 2 3 4 5 6 的符号 的符号 的符号 对分法的优点： 计算简单，方法可靠，只要求 连续，对 函数的性质要求较低。 它的缺点是： 不能求偶数重根，也不能求复根，收敛速度与以 为公比的等比级数相同，不算太快。 一般求方程的近似根，不大单独使用，常用来为其它方法求方程近似根提供好的初值。方程求根最常用的方法是迭代法。 2 简单迭代法及其收敛性 迭代法是数值计算中