高考数学一轮复习 2几个重要不等式的证明及其应用课时作业 理 湘教版选修4-5.docVIP

2016届高考数学一轮复习 2几个重要不等式的证明及其应用课时作业 理 湘教版选修4-5 1．(2013·鸡西模拟)若实数x、y满足＋＝1，则x＋2y有(　　)最大值3＋2最小值3＋2最大值6 ．最小值6【解析】　由题意知，x＋2y＝(x＋2y)· ＝3＋＋＋2，当且仅当＝时，等号成立，故选【答案】　设M＝＋＋＋…＋，则(　　)＝1 ．与1大小关系不定【解析】　∵2＋12，2＋22，…，2－12，＝＋＋＋…＋＋＋…＋个＝1.【答案】　(2013·广东调研)已知a，b为实数，且a0，b0.则的最小值为(　　)【解析】　因为a0，b0，所以a＋b＋＝3，①同理可证：a＋＋＝3由①②及不等式的性质得≥3×3＝9.【答案】　设abc，n∈N，且＋恒n的最大值是(　　)【解析】　＋＝＋＝2＋＋，＋，而＋恒成立，得n≤4，故选【答案】　设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，若M＝－1·－1·，则必有(　　) B.≤M1 C．1≤M8 D．M≥8 【解析】　M＝＝＝8.【答案　(2014·黄冈模拟)若不等式在t∈(0，2]上恒成立，则a的取值范围是(　　) B. C. D. 【解析】　由已知对任意t∈(0，2]恒成立，于是只要当t∈(0，2]时，记f(t)＝t＋，g(t)＝＋2，可知两者都在(0，2]上单调递减，f(t)＝f(2)＝，g(t)＝g(2)＝1，所以a∈　【答案】　二、填空题若0αβ，＋＝a，＋＝b，则a与b的大小关系是________. 【解析】　a＝1＋，b＝1＋，又02α2β，∴，∴a，又∵a，b均大于0，∴ab.【答案】　ab若P＝＋＋(x0，y0，z0)，则P与3的大小关系为________. 【解析】　∵1＋x0，1＋y0，1＋z0，＋＋＋＋＝3.即P3.【答　P3已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________．【解析】　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0t＝xy≤＝由f(t)＝t＋在上t＝时f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时，z有最小值【答案】　已知a0，b0，a＋b＝1，则＋的最大值为________．【解析】　(＋)＝a＋1＋b＋1＋2＝a＋b＋2＋2＋2×＝6.当且仅当a＝b＝时等号成立．即(＋)，故＋. 【答案】　三、解答题(2014·茂名质检)若实数xy、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1) 若x－1比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a＋b比a＋ab远离2ab【解析】　(1)由题意知|x－1－0|＞|1－0|，即|x－1|＞1，所以x－1＜－1或x－1＞1，解得x＞或x＜－，所以x的取值范围是{x|x＞或x＜－(2)要证明a＋b比a＋ab远离2ab，即证|a＋b－2ab＞|a＋ab－2ab，因为a≠b，故a＋ab＞2＝2ab，而a＋b＞2＝2aba3＋b－2ab＞a＋ab2－2ab，即证明a＋b－(a＋ab)＞0, 化简得(a－b)(a＋b)＞0显然成立，所以a＋b比a＋ab远离2ab已知a，b为实数，且a0，b0，c0.(1)求证：；(2)证明：a＋b＋c＋，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【证明】　(1)因为a0，b0，所以a＋b＋＝3，①同理可证：a＋＋0.② 由①②及不等式的性质得≥3×3＝9.(2)因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式得＋b＋c(abc)，①＋＋(abc)－，所以(abc)－故a＋b＋c＋(abc)＋9(abc)－又3(abc)＋9(abc)－＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．(2013·南昌调研)已知x＋y0，且xy0. (1)求证：x＋y＋y；(2)如果＋恒成立，试求实数m的取值范围或值．【解析】　(1)证明：∵x＋y－(x＋y) ＝x(x－y)－y(x－y)＝(x＋y)(x－y)，且x＋y0，(x－y2≥0，＋y－(x＋y)≥0. ∴x3＋y≥x2y＋y(2)①若xy0，则＋ 等价于＝，又∵＝＝－3，即－3，∴m－6；若xy0，则＋ 等价于＝，又∵＝1，即，综上所述，实数m的取值范围是(－6，2]． 5