高考数学 高考必会题型 专题2 不等式与线性规划 第7练 基本初等函数问题.docVIP

第7练　基本初等函数问题 题型一　指数函数的图象和性质 例1　已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 破题切入点　判断函数t＝|2x－m|的单调区间，结合函数y＝2t的单调性，得m的不等式，求解即可． 答案　(－∞，4] 解析　令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]． 题型二　对数函数的图象和性质 例2　已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果对于任意的x[，2]都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围是________． 破题切入点　要对字母a进行分类讨论． 答案　(0，][3，＋∞) 解析　f(x)＝logax， 当0a1时，|f()|－|f(2)| ＝loga＋loga2 ＝loga0， 当a1时，|f()|－|f(2)| ＝－loga－loga2 ＝－loga0， |f()||f(2)|总成立． 要使x[，2]时恒有|f(x)|≤1， 只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1， 即logaa－1≤loga≤logaa， 亦当a1时，得a－1≤≤a，即a≥3； 当0a1时，得a－1≥≥a， 得0a≤. 综上所述，a的取值范围是(0，][3，＋∞)． 题型三　幂函数的图象和性质 例3　已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当－1x≤1时，f(x)＝1－x2.若直线y＝－x＋a与曲线y＝f(x)恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为________________________． 破题切入点　画出函数f(x)的草图，对参数a取特殊值，验证是否满足题设条件． 答案　{a|a＝2k＋1或2k＋，kZ} 解析　画出函数f(x)的草图，当a＝1时，如图所示， 直线y＝－x＋1与曲线y＝f(x)恰有2个交点； 当a＝时，直线y＝－x＋与曲线y＝f(x)恰有2个交点，如图所示，根据函数的周期性． 总结提高　(1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数，考查形式主要是客观题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现．考查重点主要有三个：一是考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，二是考查指数式与对数式的运算，三是考查交汇性问题． (2)解决好本部分问题需要注意以下三点： 理清定义：掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念，并注意指数函数与幂函数的区别． 心中有图：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能灵活运用函数图象和性质解题． 把握交汇：把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点，在综合应用中强化对这三种函数的理解． 1．若函数y＝ax＋b－1 (a0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有________． 答案　0a1且b0 解析　(1)当0a1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限． y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限， 只可能0a1. (2)如图，这个图可理解为y＝ax (0a1)的图象向下平移大于1个单位长度． 解得b0. 由(1)、(2)可知0a1且b0. 2．(2013·课标全国改编)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小顺序为________． 答案　abc 解析　因为a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然abc. 3．若函数f(x)＝logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________. 答案　 解析　0a1， f(x)＝logax在[a,2a]上为减函数， f(x)max＝logaa＝1， f(x)min＝loga2a＝1＋loga2， 1＝3(1＋loga2)， 即loga2＝－，a＝. 4．函数f(x)＝的定义域为________． 答案　(0，] 解析　要使函数f(x)＝有意义， 则解得0x≤. 5．“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz成立”的________条件． 答案　充分不必要 解析　由lg x，lg y，lg z成等差数列，可以得出2lg y＝lg x＋lg z，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz，但反之，若y2＝xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lg x，lg y，lg z成等差数列． 6．已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________. 答案　2 解析　f(x)＝lg