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秩亏网平差若干计算方法 1.概述 在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵B都是满秩的，由此得到的法方程系数阵N=BTPB也是满秩的，即法方程有唯一解。这是经典平差的范畴。 自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。此时的误差方程的系数阵B是列亏阵，由此所得的法方程系数阵N=BTPB也是秩亏阵。一般设网中全部的待定坐标个数为u，必要观测数为t，全部观测数为n，B为n×u阶矩阵，相应的法方程系数阵N是u×u阶矩阵， RB=RN=tu，秩亏数都为d=u-t，所以法方程有无穷组解。这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d就是网中必要的起算数据个数。对于水准网，必要起算数据是一个点的高程，故d=1；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故d=4；对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故d=3。 2.秩亏网平差模型 以间接平差为例，令u个坐标参数的平差值为X~，观测向量为L，则秩亏网的误差方程为： V=Bx~-l （1） 式中，RB=tu，d=u-t，X~=X0+x~，l=L-L0 随机模型是：D=σ2Q=σ2P-1 （2） 根据最小二乘原理，在VTPV=min下，可组成发方程如下： BTPBx~-BTPl=0 （3） 若是按照直接解法用如下的方程组来解求x~的解： V=Bx~-lBTPBx~-BTPl=0VTPV=min （a） 容易得到|BTPB|=0，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有无穷多组x~的解，无法求得唯一的x~，因为参数x~必须在一定的坐标基准下才能唯一确定。为了得到x~的唯一解，增加d个坐标基准约束条件，即： ST x~=0 (4) 在限制条件VTPV+2KT(ST x~)=min下，得到法方程如下： BTPBx~+SK=BTPlST x~=0 （5） 由此可以根据下面的方程组解得x~的唯一解： V=Bx~-lBTPBx~+SK=BTPlST x~=0VTPV+2KT(ST x~)=min （b） 由上述方程???（b），可以得到： x~=（BTPB+SST ）-1BTPl Q=（BTPB+SST ）-1BTPB（BTPB+SST ）-1 (7) 3.矩阵分解应用于秩亏网平差 3.1 奇异值分解用于秩亏网平差 可以看出，上面提到的这种计算秩亏网平差的方式很复杂，现在我们不妨把秩亏自由网平差看成在满足最小二乘VTPV=min和最小范数x~Tx~=min的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求x~的唯一解： V=Bx~-lBTPBx~-BTPl=0VTPV=minx~Tx~=min (c) 这是个复杂的方程组，如果按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。 矩阵的奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在最优化问题、特征值问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要的应用。对秩为r的m×n阶矩阵A进行奇异值分解的步骤是：1）求得AHA的特征值γ1，γ2,……γn,及对应的特征向量并正交单位化，得矩阵V，使得VHAHAV=M2000,M=diag(γ1，γ2,……γn)；2）将V的前r列作为V1，令U1=AV1M-1，再扩张成m阶的矩阵U；3）那么A=UM000VH。 根据上述矩阵奇异分解的原理求得矩阵B的奇异值分解：B=UM000VH,在此基础上令矩阵G=VM-1000UH。通过矩阵理论的学习我们知道，可以通过如下的方式来验证G就是B的广义逆： （1）BGB= UM000VH VM-1000UHUM000VH=UM000VH=B (2) GBG=VM-1000UH UM000VHVM-1000UH=VM-1000UH=G (3) (BG)H=(UM