支持向量机SVM分类的基本原理.docVIP

数据分类算法基本原理 数据分类是数据挖掘中的一个重要题目。数据分类是指在已有分类的训练数据的基础上，根据某种原理，经过训练形成一个分类器；然后使用分类器判断没有分类的数据的类别。注意，数据都是以向量形式出现的，如0.4, 0.123, 0.323,…。 支持向量机是一种基于分类边界的方法。其基本原理是（以二维数据为例）：如果训练数据分布在二维平面上的点，它们按照其分类聚集在不同的区域。基于分类边界的分类算法的目标是，通过训练，找到这些分类之间的边界（直线的――称为线性划分，曲线的――称为非线性划分）。对于多维数据（如N维），可以将它们视为N维空间中的点，而分类边界就是N维空间中的面，称为超面（超面比N维空间少一维）。线性分类器使用超平面类型的边界，非线性分类器使用超曲面。 线性划分如下图：可以根据新的数据相对于分类边界的位置来判断其分类。注意，我们一般首先讨论二分类问题，然后再拓展到多分类问题。以下主要介绍二分类问题。 支持向量机分类的基本原理 支持向量机是基于线性划分的。但是可以想象，并非所有数据都可以线性划分。如二维空间中的两个类别的点可能需要一条曲线来划分它们的边界。支持向量机的原理是将低维空间中的点映射到高维空间中，使它们成为线性可分的。再使用线性划分的原理来判断分类边界。在高维空间中，它是一种线性划分，而在原有的数据空间中，它是一种非线性划分。 但是讨论支持向量机的算法时，并不是讨论如何定义低维到高维空间的映射算法（该算法隐含在其“核函数”中），而是从最优化问题（寻找某个目标的最优解）的角度来考虑的。 最优化问题 我们解决一个问题时，如果将该问题表示为一个函数f(x)，最优化问题就是求该函数的极小值。通过高等数学知识可以知道，如果该函数连续可导，就可以通过求导，计算导数＝0的点，来求出其极值。但现实问题中，如果f(x)不是连续可导的，就不能用这种方法了。最优化问题就是讨论这种情况。 求最优解的问题可以分为两种：（1）无约束最优问题；（2）有约束最优问题。 无约束最优算法可以表达为：。可以用数值计算方法中的牛顿法、最速梯度下降法等，通过多次循环，求得一次近似的最优解。 有约束问题，一般表达为： 线性可分的二分类问题 线性可分的二分类问题是指：原数据可以用一条直线（如果数据只有二维）或一个超平面划分开。用一个多维空间中的超平面将数据分隔为两个类有三种基本方法： 平方最近点法：用两类点中最近的两点连线的平分线作为分类线（面） 最大间隔法：求分类面，使分类边界的间隔最大。分类边界是值从分类面分别向两个类的点平移，直到遇到第一个数据点。两个类的分类边界的距离就是分类间隔。 分类平面表示为：。注意，x是多维向量。分类间隔的倒数为：。所以该最优化问题表达为： 其中的约束是指：要求各数据点到分类面的距离大于等于1。其中， 为数据的分类。 线性支持向量分类机： 据此求出（最优解，算法另述）后： ， 说明：线性支持向量机是基于最大间隔法的。该问题是一个二次规划问题，使用拉格朗日函数合并优化问题和约束，再使用对偶理论，得到上述的分类优化问题。需要注意的是，该问题仍然是一个有约束的最优化问题。 线性不可分问题 (1)线性软间隔分类机 基本思路：由于样本线性不可分，原来对间隔的要求不能达到。引入松弛变量ξi，使约束条件弱化为：。但是，我们仍然希望该松弛变量ξi最小化（如果ξi＝0，则就是原线性硬间隔分类机）。于是，在优化目标函数中使用惩罚参数C来引入对ξi最小化的目标。这样，该分类机的模型为： 以此为原问题，其对偶问题为： (2)非线性硬间隔分类机 基本思路是：可以将低维空间中的曲线（曲面）映射为高维空间中的直线或平面。数据经这种映射后，在高维空间中是线性可分的。设映射为：，则高维空间中的线性支持向量机模型为： 需要注意的是，由于数据被映射到高维空间，的计算量比大得多。此时引入了所谓“核函数”： 由上式可见，核函数的作用是，在将x映射到高维空间的同时，也计算了两个数据的在高维空间的内积，使计算量回归到的量级。 （3）非线性软间隔分类机（C-支持向量分类机） 非线性硬间隔分类机虽然将训练数据映射到高维空间中，但核函数的选择只有几种，它们并不能保证在任何情况下都可以将训练数据映射到足够高的维度，以使它们成为线性可分的。因此，有理由在此基础上引入线性软间隔分类机中的松弛变量。这样，原问题为： ， 其对偶问题为： 这种支持向量机是最常用的。 （4）ν-支持向量机分类机 C－支持向量机中的惩罚参数C难以选取。选择大的C是强调最小化训练错误；选择较小的C是强调最大化分类间隔。 ν-支持向量机分类机的原始问题： 其对偶问题为： 多分类问题 一类对余类方法： 建立将一类与其余类分开的支持向量机。如，训练数据有M类，则需要建立M个支持向量机。识别x分