《2016年丘成桐中学数学奖获奖论文12：关于“ 青蛙跳几次，一米徘徊” 概率问题的研究》.pdfVIP

关于“青蛙跳几次，一米一徘徊”概率问题的研究 清华大学附属中学G1208 齐天博 张胤泰 指导教师 李劲松 【摘要】本文从一道简单的高中几何概型题目“一只青蛙跳三次，每次跳一米。请问青 [1] 蛙落在距离原点1 米以内的区域的概率是多少？” 出发，将该题目的步数、距离和所在维 度扩展，通过递推和对上一步落点的情况的积分的方法，得到了N 维跳m 步，落点在距离 原点x 米以内的概率的表达式；并基于各点的概率虽为无穷小量，但是大小不同，提出了“概 率场强度”这一表示各点概率相对大小的概念，并给出了二维空间内青蛙跳m 步时各圆上 的概率场强度表达式。 关键词：概率，几何概型，函数，多维空间。  平面跳两次之数学计算 青蛙第一步的落点一定在以起点为圆心，半径为1 的圆周上。 图1 如图1所示，设起点为O，第一步落点为A。以第一步落点为圆心，1 为半径做圆A，与 以O 为圆心x 为半径的圆O 交与点P。当它向转动α ∈ [2 arcsin , ]时，青蛙回到圆内；同 2 2rcsin 理，青蛙向左转也是转动 ∈ [2 , ]时回到圆内。所以青蛙回到圆内的概率为 2. 2 π [1] 本题出自2010 年 AMC 12B。原题目为“A frog makes 3 jumps, each exactly 1 meter long. The directions of the jumps are chosen independently at random. What is the probability that the frog’s final position is no more 1 1 1 1 1 than 1 meter from its starting position? (A) (B) (C) (D) (E) ”。 6 5 4 3 2 1 2rcsin 因此P (x)= 2,定义域为[0,2]，应用Microsoft Mathematics 作图图像如图所示： 2 图2 由上述计算可以发现，圆内概率大小随着圆的半径增大而增大，并且增长越来越快。这 说明尽管落在任意一个x∈ [0,2] 的圆上的趋近与0，但随着圆的半径的增大，落在圆上的概 率也逐步递增。但是由于它们全都趋近与零，我们无法很好比较它们的大小。 [ ] ( ) ′ ( ) 对于任意半径为x∈ 0,2 的圆来说，青蛙落在该圆上的概率为 = ∙ 。由 2