群论答案.ppt

（1）此矩阵 A 的特征方程为 可求得全部特征值为2，2i，-2i 将特征值2带入方程组 得基础解系 将特征值2i带入方程组 得基础解系 同理，将特征值-2i带入方程组，得基础解系 设H1、H2是G的子群，H3={R1,R2,……}是H1和H2公共元素组成的集合，即为它们的交。 (1)当群G的阶数为5，7时 已知子群H的阶数是群G阶数g的约数，所以当群的阶数为素数时，除恒元外，元素的阶数只能等于群G阶数g。 (2)当群G的阶数为6时 假设除恒元外元素的阶数都是2，任取其中两个元素R和S，设RS=T，由于恒元和逆元的唯一性，T不等于恒元E，也不等于R或S，则E,R,S和T可以构成4阶的子群。这与子群的阶数必须是原群阶数的约数相矛盾，故假设不成立，既除恒元外，不可能所有元素的阶数都是2。 (2) 已知R2=S2=T2=E RS=T R·RS=R·T,即R2S=E·S=S=RT RS· S=T·S,即RS2=R·E=R=TS 则 SR=RT·TS=R(T2)S=RS 同理：对于群G中其它任意元素的乘积也可以对易 即证：除恒元外，每个元素都为2 的群一定是阿 贝尔群。 2.10 准确到同构，证明九阶群G只有两种：循环群C9和直乘群 证明：九阶群中除恒元外，元素的阶数只能等于3或9 （1）若九阶群中至少有一个元素的阶数为9，则此群比为循环群C9 （2）若没有元素的阶为9，则除恒元外的元素都是3阶元素。任取一个3阶元素，记为A，则由A构成的循环子群为{E ，A ， },再定义一个右陪集，记做{B C D},为了不失普遍性，可以假设AB=C,AC=D,AD=B,因为B、C、D都是3阶元素，他们的平方不能等于E,A, ,和B,C,D。它们彼此也不能相等，因而可以把群中其它3个元素记做 ,构成另一个右陪集，又由重排定理 3.1设G是一个非阿贝尔群，D（G）是群G的一个不可约真实表示，元素R的表示矩阵为D(R)。先让群G元素R分别与下列矩阵对应，问此矩阵的集合是否分别构成群G的表示？分别是否可约？(1)D(R)+ (2) D(R)T(3) D(R-1) (4) D(R)* (5) D(R-1)+ (6)det D(R)(7) tr D(R)例如第一小题，设R←→ D(R)+ 问D(R)+ 的集合D(G)+ 是否构成群G的表示？ 注意D(RS)=D(R)D(S). (1)因为D(R)+D(S)+≠D(RS)+ ,所以D(R)+ 的集合不是群G的表示。 (2)因为D(R)TD(S)T≠D(RS)T ,多以D(R)T 的集合不是群G的表示。 (3)因为D(R-1)D(S-1)≠D[(RS)-1]，所以D(R-1)的集合不是群G的表示。 (4)因为D(R)*D(S)* =D(RS)* ,所以D(R)* 的集合是群G的不可约表示。 (5)因为D(R-1)+D(S-1)+=D[(RS)-1]+ ，所以D(R-1)+ 的集合是群G的不可约表示 (6)因为detD(R)detD(S)=detD(RS),所以detD(R)的集合是群G的不可约表示。 (7)因为trD(R)trD(S) ≠trD(RS),所以trD(R)的集合不是群G的表示 3.2证明有限群任何一维表示的表示矩阵模为1 证明：有限群元素的若干次方（元素的阶）等于恒元：An=E恒元在一维表示中对应数1，因此有限群元素在一维表示中的表示矩阵的若干次方等于1，an=1 即模为1。 3.3证明Abel群（包括无限群）的不可约表示都是一维的 设群G是Abel群，R ∈G。矩阵群A（R），因为Abel群的元素是对易的。所以对于群G中的任意元素S，都有RS=SR 相应的表示矩阵 D（R）D（S）= D（S）D（R）也就是表示矩阵中的任一个矩阵D(R)与所有元素的表示矩阵都对易，而对于不可约表示，按照舒尔定理，D（R）为常数矩阵，常数矩阵的不可约表示只能是一维的，得证。 3.4.证明有限群两个等价的不可约幺正表示之间的相似变换矩阵，如果限制其行列式唯一，必为幺正矩阵。 证明：设 和 是有限群的两个等价的不可约幺正表示,他们可以通过幺正的相似变换联系起来, 若他们又通过另一个相似变换联系起来 则根据上式得 即 由舒尔定理 ， ，c是常数 又由题目可知X矩阵的行列式为1，幺正矩阵M的行列式模为一，X=cM，故c=1。则 故X是幺正矩阵。 3.5.证明除恒等表示外，有限群任一不可约表示的特征标对群元素求和为零。 证