《保险精算-生存函数》.pdf

第二章 生存分布与生命表 本章主要研究生存分布与生命函数 第一节 生存分布 本节主要研究：三个随机变量X 、T 、K 的分布，其中以X 的分布作为最 基本的分布。 一、一、X 的分布的分布 一一、、 的分布的分布 X ：表示一个人从出生到死亡时间；个人寿命；连续型随机变量。其分布函 数记为F(x) ，其密度函数记为f (x) 。于是 F(x) = P(X ≤ x) (x ≥ 0) F(x+ ∆x) − F(x) f (x) = F (x) = lim ； ∆x→0 ∆x 其分子为在x 岁与x+ ∆x 岁间死亡概率（不妨假设∆x 0 ），当∆x → 0 时，f (x) 表示在x 岁这一瞬间的年死亡概率。 x 于是F(x) = ∫0 f (u )du P(x X ≤ x ) = F(x ) − F(x ) = x2 f (u )du ① 1 2 2 1 ∫x 1 记s(x) = P(X x) = 1− F(x) 为一个新生婴儿活过x 岁的概率。 在统计学中，常用分布函数F(x) ；而在精算学中，则更多使用s(x) 。 具 有如下性质： ①s(0) = 1 ； ②s(+∞) = 0 ；③s(x) 是递减函数； ④s(x) 一般为连续函数。 P(x X ≤ x ) = F(x ) − F(x ) s(x ) − s(x ) . 1 2 2 1 1 2 +∞ E(X) = ∫0 xf (xdx) +∞ 2 2 2 var(T) = ∫0 (x− E(x)) f (xdx) = E(x ) − (E(x)) 。 二、二、T 的分布的分布 二二、、 的分布的分布 T = T( x) 表示(x) 未来能够生存的时间，或称为未来寿命或剩余寿命，连续 型 r.v 。 1 T = T( x) = X − x 显然 T(0) = X T 的分布函数为 Gt( ) = PT( ≤ t) = P(X − x ≤ t | X x) s(x) − s(x+ t) = s(x)