数学高考压轴题的特征及应对策略.doc

数学高考压轴题的特征及应对策略 江苏省姜堰中学 张圣官（225500） 以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。由于高考的选拔功能，近年来的数学高考的压轴题中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确导向的创新题型，使数学高考试题充满了活力。本文准备结合近几年高考实例来谈谈数学高考压轴题的特征及应对策略。 一．数学高考压轴题的特征高考压轴题压轴题例1．（06年福建第21题）已知函数f(x)=－x+8x，g(x)=6lnx+m； （）求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值h(t)； （）是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16； 当t+14，即t3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7； 当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16； 当t4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，h(t)=f(x)=－t2+8t； 综上， （II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数??x??g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点． 从而有：， 当x(0,1)时，，是增函数；当x(1,3)时，，是减函数； 当x(3,+∞)时，，是增函数；当x=1，或x=3时，?； 极大值极小值=m+6ln 3－15； 当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与x轴正半轴有三个不同的交点， 当且仅当 即所以存在实数m，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为． 评：本小题主要考查函数的基本知识和运用导数研究函数能力；第一小问考查分类与整合等数学思想，第二小问考查函数与方程、数形结合及转化与化归数学思想A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意，都有；存在常数，使得对任意的，都有（）设，证明：； （）设如果存在使得那么这样的是唯一的； （）设任取,令证明给定正整数k对任意的正整数p成立不等式．（）,,,, 所以对任意的， 有：， ， 所以：, 令，， 则；所以； （）使得,； 则由，得，所以，矛盾， 故结论成立。 （）； ∴ 点评：本题具有高等数学中的拉格朗日中值定理的背景，一般学生解答是很困难的。在对待高观点题时要注意以下两个方面：一是高观点题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，而不是将高等数学引入高考；二是高观点题有利于区分考生能力，在今后高考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新时期的高考要求。 3．交汇性，强调各个数学分支的交汇 注重在知识网络的交汇点上设计试题，重视对数学思想方法的检测，是近年来高考试题的特色。高考数学压轴题讲究各个数学分支的综合与交汇，以利于加强对考生多层次的能力考查。 例3．如图，设抛物线方程为，为直线 上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为． （）求证：三点的横坐标成等差数列； （）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程； （）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． Ⅰ）证明：由题意设； 由得，得，所以，； 因此直线的方程为，直线的方程为； 所以 ①； ②； 由①、②得，因此，即； 所以三点的横坐标成等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得： ， ， 所以是方程的两根，因此，， 又，所以； 由弦长公式得； 又，所以或，因此所求抛物线方程为或． （Ⅲ）解：设，由题意得， 则的中点坐标为， 设直线的方程为， 由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得； 若在抛物线上，则， 因此或．即或； （1）当时，则，此时，点适合题意； （2）当，对于，此时， ， 又，， 所以，即，矛盾； 对于，因为，此时直线平行于轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾， ∴ 时，不存在符合题意的点．综上所述，仅存在一点适合题意． 点评：本题从形式上看兼有解几、数列、向量等多个数学分支，但细细分析可知数列和向量都只须了解基本概念即可，主要还是解几的内容。 二．数学高考压轴题的(I)求函数f(x)的最大值； (II)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2． 解：(I)函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，