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数论基础 授课内容 A.1 素数与互素 A.2 同余与模运算 A.3 欧拉定理 A.4 几个有用的算法 A.1 素数与互素 1 整除 定义1.1 设 a,b为整数，a≠0. 若有一整数q, 使得 b = aq, 则称 a是b的因数,b是a的倍数; 并称a整除b, 记为a|b, 可形式地表示为: a|b:=(?q)(b=aq) 若a不能整除b，记为a?b. 若b=aq,而a既非正负b又非正负1,则称a是b的真因数. 1 整除 关于整除，显然有下列定理： 定理1.1 ①对所有a, 1|a. ②对所有a, a|0. ③对所有 a, a|a. ④若a|b且b|c, 则a|c. ⑤若a|b, 则对任意的c≠0, 有ac|bc. ⑥若ac|bc且c≠0, 则a|b. 1 整除 ⑦若 a | b且a|c,则对任意的 m,n,有 a|(bm+cn). ⑧若a|b, 则b=0或|a|≤|b|,其中|a|是a的绝对值. ⑨若a|b, 则(-a)|b, a|(-b),(-a)|(-b), |a|||b|. 2素数和合数 在正整数中, 1只能被它本身整除. 任何大于1的整数都至少能被1和它本身整除． 定义2.1 一个大于1且只能被1和它本身整除的整数, 称为素数; 否则, 称为合数. 由该定义可知，正整数集合可分三类: 素数、合数和1. 素数常用p或p1, p2…,来表示. 2 素数和合数 定义2.2 若正整数a有一因数b,而b又是素数,则称b为a的素因数． 例:12=3×4, 其中3是12的素因数, 而4则不是. 素数有多少？公元前三世纪, 古希腊数学家欧几里德Euclid就证明了素数有无穷多个. 2 素数和合数 素数的一些基本结论： 素数有无穷多个 素数的整除性 素数定理 算术基本定理：有限分解和唯一分解 3 最大公因数和最小公倍数 定义3.1 设al,a2,…,an和d都是正整数, n≥2. 若d|ai, 1≤i≤n, 则称d是al,a2,…,an.的公因数. 在公因数中最大的那一个数, 称为al,a2,…,an的最大公因数, 记为gcd{al,a2,…,an}. (greatest common divisor)或者(al,a2,…,an). 若gcd(al,a2,…,an)=1, 称al,a2,…,an是互素的. 3 最大公因数和最小公倍数 在互素的正整数中, 不一定有素数. 例如(25,36)=1, 但25和36都不是素数而是合数. 在个数不少于3个的互素正整数中, 不一定是每二个正整数都是互素的. 例: (6,10,15)= 1, 但(6,10)=2, (6,15)=3, (10,15)=5. 3 最大公因数和最小公倍数 最大公因子有下列性质： 任何不全为0的两个整数的最大公因子存在且唯一 设整数a与b不全为0，则存在整数x和y，使得ax+by=gcd(a,b)。特别地，如果a、b互素，则有ax+by=1 若gcd(a,b)=d, 则gcd (a|d, b|d)=1 若gcd(a,x)=gcd(b,x)=1,那么gcd(ab,x)=1 若c|(ab),gcd(b,c)=1,则c|a 3 最大公因数和最小公倍数 定义3.2 设a1,a2,…,an和m都是正整数, n≥2. 若ai|m, 1≤i≤n, 则称m是a1,a2,…,an的公倍数. 在a1,a2,…,an所有公倍数中最小的那一个, 称为a1,a2,…,an的最小公倍数, 记为lcm{a1,a2,…,an}(least common multipler)或者[a1,a2,…,an]. A.2 同余与模运算 同余是数论中一个基本概念, 它的引人简化了数论中的许多问题 同余的很多性质和“等于”很类似 1 带余除法 若a,b是二个正整数,b≠0, 则唯一存在二个整数k和r, 使得下式成立: a=bk+r, 0≤rb. 分别称k和r为a除以b(或者b除a)的商和余数。还可表示为： a=[a/b]b+a(modb) 例A.1 参见教材p144。 2 整数同余与模运算 定义2.1 给定一正整数m, 若用m去除两个整数a和b所得余数相同, 则称a与b模m同余, 记作a?b(mod m); 若余数不同, 则称 a与b模m不同余, 记作a?b(mod m).m称为模数，a(modm)称为a模m的余数。 显然，a?0(mod m) iff m| a. a?b(mod m) a=km+b m|a-b 例A.2（参见教材p145） 2 整数同余与模运算 模n同余类（剩余类） 任何整数a除以正整数n的余数一定在集合{0，1，2，…，n-1}中，所有整数根据模n同余