数学模型数学建模 第一次作业 入门实验.docVIP

1、数学建模入门 1、贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？ (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三 年还清贷款。但条件是: 每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款 额的1/2； 因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总 额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答：设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额×月利率+第k-1个月的欠款额-每个月的还款额 即第k个月的欠款额：Ak= Ak－1（1+r）－xA1 = A0(1 + r ) x; A2 = A1(1 + r ) x = A0(1 + r )2- x[(1 + r ) + 1]; 第k个月的还款金额为 Ak= A0（1+r）k－x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1] = 贷款总月数为，也就是说，第个月的欠款额为0，即A＝0，令=k，每月的还款额，可见每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。 r＝0.006，n＝240，A0＝2可计算出每月还款额x=1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。 （2）在贷款满5年后，k＝60，则一次付款额A60＝173034.90元。 （3从银行调整利率后算起，A0=173034.90，n=15×12=180，r＝0.008，由此可以得到x＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。 根据题意， 如果小王夫妇请这家借贷公司帮助还款每月的还款额1574.7元，总共的还款额为1574.7×12×20＝377928元。 小王夫妇请这家借贷公司帮助还款，每半个月付款一次一次付款额是原付给银行还款额的1/2付给借贷公司的佣金总的还款额是1574.699×0.5×+200000×10%＝341238.元。 小王夫妇请这家借贷公司帮助还款 2、冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (ToT)的环境中冷却的速度与温差T-To成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。 某公安局于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温度为32.6℃,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4℃,，已知室温在几个小时内均为21.1℃,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？ ：首先根据Newton冷却定律列出其方程： ， （1） 式中为系统的温度，为环境的温度，为客观时间，为散热系数。 若尸体温度按照牛顿的冷却定律来变化，设表示时刻尸体的温度，并记晚上8点20分为t=0时刻。则根据实测数据有 ， （2） 推理一下：假设受害者死亡时体温是正常的，即，如果知道的解，则可以知道t0。 由方程（1）得其通解 ， （3） 式中为被害者家的温度，即环境温度。根据方程（2）确定常数和散热系数，于是有 ， ， 解方程组得，，，代入方程（3） ， （） 当时，解为 h min 所以，被害者的死亡时间约为： =5：23； 这也就是说，被害人的死亡时间约为5：23，张某有足够长的时间可以作案，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。 3锻炼想象力、洞察力和判断力的问题 (1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过中的同一地点，为什么？ 解答： 可以将两个过程叠加在一起，看作两个人同时从起点和终点出发，，所以必在中间某一时间两人相遇，相遇点即为同一时刻经过中的同一地点 (2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大