《梯形中的动点问题（8页）》.docVIP

中考压轴题中的动点问题： 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120°．动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），△PEM的面积为S． （1）判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由； （2）连接BD，求证：△EPM∽△ABD； （3）求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值． 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。 解答：解：（1）△PAE≌△EDM， 理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t， ∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t（1分）∵在梯形ABCD中，AB=DC， ∴∠PAE=∠EDM；（2分） 又AP=DE，AE=DM， ∴△PAE≌△EDM．（3分） （2）证明：∵△PAE≌△EDM， ∴PE=EM，∠1=∠2（4分） ∵∠3+∠2=∠1+∠BAD， ∴∠3=∠BAD；（5分） ∵AB=AD，∴；（6分） ∴△EPM∽△ABD．（7分） （3）过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G； 在Rt△AFB中，∠4=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°， ∴BF=AB?sin∠4=4?sin60°= ∴S△ABD=． （8分） 在Rt△APG中，PG=AP?sin∠4=（4﹣2t）?sin60°= （2﹣t） ． AG=AP?cos∠4=（4﹣2t）?cos60°=2﹣t， ∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t． ∵PE2= PG2+ GE2 ∴[ （2﹣t）]2+（2+t）2=4t2﹣8t+16． ∵△EPM∽△ABD，∴ = （9分） ∴S△EPM=4 ×=； ∴S与t的函数关系式为S= （0≤t≤2）（10分） 即S= ∴当t=1，S有最小值，最小值为 ．（12分） 另一解法（略解）在Rt△APG中，PG=AP?sin∠4=（4﹣2t）?sin60°=（2﹣t）． AG=AP?cos∠4=（4﹣2t）?cos60°=2﹣t． 在Rt△MFD中，FM=DM?sin∠MDF=2t?sin60°=，DF=DM?cos∠MDF=2t?cos60°=t． ∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6，GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t， EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t；∴S△EPM=S梯形PGFM﹣S△PEG﹣S△EFM=．（0≤t≤2） 2、（2010?湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． （1）求证：△ACD∽△BAC； （2）求DC的长； （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值． 考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 解答：解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA（1分） 又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，（2分） ∴△ACD∽△BAC（3分）． （2） ……………………4分 ∵△ACD∽△BAC ∴ ……………………5分 即 解得： ……………………6分 过点E作AB的垂线，垂足为G， ∴△ACB∽△EGB ……………………7分 ∴ 即 故 …………………8分 == 故当t=时，y的最小值为19 3、（2007?河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位