《西安交通大学硕士研究生2016年入学数学分析试题》.doc

西安交通大学硕士研究生2000年入学考试《数学分析》试题 ()用“”或“”语言,在肯定的意义下表述下列各概念: ⑴在的某邻域内有定义,但在处不连续. ⑵在内连续,但在内不一致连续. ⑶对于每个收敛,但在内关于不一致收敛. ⑷在上有界,但在上不可积. 解: ⑴定义:设函数在的某邻域内有定义.若,使得,,尽管满足,但,则称函数在处不连续. ⑵定义:设函数在内连续.若,使得,,尽管满足,但,则称函数在内不一致连续. ⑶定义:设对于每个收敛.若,使得,和,尽管满足,,但,则称广义积分在内关于不一致收敛. ⑷定义:设函数在上有界.若,使得,都存在的分割,尽管满足,但,则称函数在上不可积. ()按要求讨论下列问题: ⑴设 试讨论在处的连续性及可微性. 解:ⅰ因为,又因,所以,因此在处连续. ⅱ 由于因为不存在, 所以不存在. 又因,,所以, 故不存在,从而在不连续. 同理可得 在不连续.即函数的两个偏导数在原点都不连续. ⅲ因为 又因,. 所以, 即, 从而函数在原点可微,且. ⑵设,试讨论的连续性,可导性.并在可导处求. 解:记,. 则与在上连续. 因为(其中),有. 而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛. 因为,有. 而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛.并且 . ,取,则, ⅰ因为关于在上一致收敛,且在上连续,所以在上连续.从而在处连续,由的任意性得在上连续. ⅱ因为在上关于可偏导, 且与关于在上一致收敛, 因此可以在积分号下求导: , . 由此得 计算下列各题: ⑴设在上连续,且以为周期,又,试以的Fourier系数表示的Fourier系数. 解:记, , , , . 则 . . ⑵设为的上半表面上侧,计算. 第二型曲面积分计算公式：若曲面的方程为:,则 , 上侧取“”,下侧取“”. 解:曲面可表为,. 由于,所以 . ()证明下列各题: ⑴设,,则,使得当时,有. 证明:ⅰ因为,所以,使得当时,有 . 又因当时,有. 所以当时,有,即. ⅱ因为,所以,使得当时,有 . 又因当时,有. 所以当时,有,即. ⅲ取,则当时,有. 因此当时,有(等号仅当时成立). ⑵证明:,函数项级数在内处处收敛,但在内非一致收敛. 证明:ⅰ因为,有,而收敛,所以在内处处收敛. ⅱ,所以在内非一致收敛于零,因此在内非一致收敛. ⑶用平面点集的致密性定理(聚点原理)证明:有界闭域上的连续函数有界.又:若不闭,你的证明会在何处出问题? 证明:ⅰ设在有界闭域上的连续.假若在上无界,则,,使得.特别,,使得.这样得点列且. 因为为有界闭域,所以存在收敛子列,设,则. 又因在处连续,所以,但这与矛盾. ⅱ若不闭,证明会在上出问题. ⑷设ⅰ在上一致连续,ⅱ广义积分收敛.证明.又若条件ⅰ改为在上连续,条件ⅱ不变,结论是否成立?若不成立,请举例具体说明之. 证明:,由于是上的一致连续,因此(不妨设),使得 当且时,有; 又由收敛的准则知:对,,使得当时,有 ; 当时,取使,且,可估计得: , 因此当时,有,即. 但将条件改变结论有可能不成立.例如收敛,被积函数在）上连续，而不存在.