《线性代数》(精品课程).ppt

第一章 第一章 行列式 §1.1 二阶与三阶行列式 一、概念的引入 二、二阶行列式 三、三阶行列式 小结 §1.2 全排列及其逆序数§1.3 n 阶行列式的定义§1.4 对换 一、排列与逆序 2、排列的逆序数 二、对换及其性质 2、对换与排列奇偶性的关系 例1 用定义计算行列式 的值. 解 D 的一般项为： 考虑列下标，仅当 时对应的项不等于零，因此 840. 例2 计算 的值. 解 D 的一般项为 第n行元素中，只有ann可能不为0，其余全为0， 故只考虑 第n-1行元素中，除 外全为0， 故只考虑 jn-1 n-1或 n， 又因为 故 依此类推，还有 所以 D 上三角形行列式 下三角形行列式 对角形行列式 证 定理 n阶行列式D |aij|的一般项还可以记成 其中i1i2…in , j1j2…jn均为n级排列. j1j2…jn ? j1’j2’…jn’ 经过同样多次变换 i1i2…in ? 12…n * 线 性 代 数 课程特点： 一个中心 —— 求解线性方程组 一种工具 —— 矩阵 （行列式、向量） §1.1 二阶与三阶行列式 §1.2 全排列及其逆序数 §1.3 n 阶行列式的定义 §1.4 对换 §1.5 行列式的性质 §1.6 行列式按行（列）展开§1.5 克莱姆法则 一、行列式概念引入 二、二阶行列式的定义及计算 三、三阶行列式的定义及计算 用消元法解二元线性方程组 类似地，有 方程组有唯一解： 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）组成的记号 1、定义 即 列标 行标 称为二阶行列式，表示代数和 主对角线 副对角线 对角线法则 2、二阶行列式的计算 例1 解 记 设二元线性方程组 称为系数行列式. 可以写为: 系数行列式 则二元线性方程组的解 例2 解 1、定义 即 由九个数排成三行三列组成的记号 行标 列标 称为三阶行列式，表示代数和： 2、三阶行列式的计算 对角线法则 - - - + + + a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 例3 解 例4 解 方程左端为 例5 解 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 一、排列与逆序 二、对换及其性质 三、 n 阶行列式的定义、计算 定义 1、排列 例如 规定 n 个数码排列的标准次序为由小到大的次序. 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 2 3 1 逆序 本质 一对数构成逆序，意味着它们的前后位置与大小顺序相反. 定义 一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数. N 231 2 例如 2 3 1 1 1 0 + + 2 * 计算i1之后比i1小的数码个数m1 * 计算i2之后比i2小的数码个数m2 * 计算in之后比in小的数码个数mn 逆序数 的算法: …… mj : ij 的逆序数 3 2 5 1 4 例如 2 0 2 1 0 + + + + 5 N 32514 5 规定 标准排列12…n的逆序数为0,是偶排列. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 例如 231 是偶排列， 32514 是奇排列. 奇排列 3 21, 31, 32 3 2 1 偶排列 2 31, 32 3 1 2 偶排列 2 21, 31 2 3 1 奇排列 1 21 2 1 3 奇排列 1 32 1 3 2 偶排列 0 无 1 2 3 奇偶性 逆序数 逆序 排列 注：上表中偶排列数目与奇排列数目相等，这并非偶然. 全体3级排列 例如 1、定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种变换称为对换． 将相邻两个元素对调，称作相邻对换． 例如 对换2 与4 例如 对换2 与4 N 43521 8 N 1432 3 奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列 N 43125 5 N 45321 9 N 2431 4 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变. 证明 1）设排列为 a, b 显然，除a, b外，其它元素的逆序数不改变. 经对换后a的逆序数不变，b的逆序数增加1； 经对换后a 的逆序数减少1，b的逆序数不变. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. s 次相邻对换 s +1 次相邻对换 2s +1 次相邻对换 综上所述，任意一个排列经过一个对换后改变奇偶性. 2）设排列为 ，现在对换a与b . 排列的奇偶性改变. 推论1 任何一个排列与对应的标准排列都可经过一系列的对换互变，并且所作对换的次数与此排