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优化设计梯度法和共轭梯度法
梯度法和共轭梯度法 1. 无约束最优化问题 2. 梯度法 3. 共轭梯度法 一. 无约束最优化问题 无约束最优化问题 min f (x ) s.t . x R n 其中f (x ) 有一阶连续偏导数。 解析方法：利用函数的解析性质构造迭代公式使之收敛到最优解。 二. 梯度法（最速下降法） 迭代公式： x k 1 x k k d k 如何选择下降最快的方向？ k f (x ) 函数值增加最快的方向 k x 函数值下降的方向 k f (x ) 函数值下降最快的方向 梯度法（最速下降法）： 1. 有哪些信誉好的足球投注网站方向：d k f (x k ) ,也称为最速下降方向； 2. 有哪些信誉好的足球投注网站步长: 取最优步长, 即满足f (x k d k ) min f (x k d k ) 。 k k 梯度法算法步骤： 1. 给定初始点x 1 R n ,允许误差 0, 令k 1 。 2. 计算有哪些信誉好的足球投注网站方向d k f (x k ) ; k k 3. 若|| ||,则停止计算， 为所求极值点；否则，求最优步长 d x k 使得f (x k d k ) min f (x k d k ) 。 k 4. 令x k 1 x k d k ,令k : k 1,转2。 k 例. 用最速下降法求解: min f (x ) x 2 3x 2 ,设初始点为x 1 ( 2,1)T , 1 2 求迭代一次后的迭代点 x 2 。 解： f (x ) ( 2x1 , 6x 2 )T , 1 1 T d f (x ) ( 4 ,6) . x 1 d 1 ( 2 4,16)T . 令 () f (x 1 d 1 ) (2 4)2 3 ( 16)2 ， 求解 min () 13 令 () 8 ( 2 4) 36 ( 1 6) 0 1 62 2 1 1 36 8 T x x 1d ( , ) 31 31 最速下降法的程序流程图 锯齿现象 在极小点附近，目标函数可以用二次函数近似，其等值面近似 椭球面。 2
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