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2009年10月 重庆文理学院学报(自然科学版) Oct．，2009 of ofArtsandSciences(NaturalScienceEdition) Vol_28No．5 第28卷第5期 Journal University Chongqing N维波发夫微分方程 毛一波 (重庆文理学院数学与统计学院，重庆永川402160) [摘要]将波发夫方程推广到了高维情形，得到了，z维波发夫方程可解的充分必要条件；其 次，研究了几类特殊波发夫方程通解的求法． [关键词]波发夫方程；通解；齐次方程；恰当方程 [中图分类号]0175[文献标识码]A 一阶常微分方程的一般形式可以表示为 F(石，，，，Y’)=0，如果能从此方程中解出导数 Y7，其表达式为Y’=以z，Y)．此时，它还可以表 (2) 如果方程(1)中变量个数增加，即多于3个 示为微分的形式M(石，Y)dx+N(z，Y)dy=0． 同样地，一阶偏微分方程一般形式可表为 情形时，其积分因子存在的条件又将如何改变， 这是一个值得研究的课题．本文对方程(1)进行 以钆％…∥一％詈，薏，…，嚣)-0·如果函 推广，并得到了相应的积分因子存在的充分必要 数F关于偏导数罢，罢，…，当是线性的，其系 条件，同时对几类特殊的波发夫方程通解的求法 oxlox2 ∞8 进行研究． 数为自变量戈。，算：，…，％和未知函数“的已知函 1 凡维波发夫方程及其积分因子存在条件 数，即具有形式∑Fi(髫。，x：，…，％，“)iOu= 定义1称形如 G(x。，戈：，…，戈。，M)，则称其为拟线性的． Fl(髫l，z2，…，戈。)出1+疋(茗I，茗2，…，茗。)出2+ 易见，当n=l时，拟线性偏微分方程变为 …+F乙(戈l，石2，…，菇。)dx。：0 (3) 导数可解出的一阶常微分方程，它可以改写为微 的微分方程为凡维波发夫方程，其中函数F。(戈。， 分形式．当tl,=2时，波发夫…提出了类似的微 cR”中 戈2，…，茹。)(i=l，2，…，n)是某个区域n 分形式 的连续可微非零函数． P(菇，Y9z)dx+Q(x，y,z)dy+n(x，y，。)dz=0． 易见，当n=3时，方程(3)即可写成方程 (1) (1)的情形．因此，方程(3)可以看成是方程(1) 其中P、Q、R是某个区域中的连续可微函数，通 的推广．为叙述方便，约定 常称(1)为波发夫方程． Fi=Fi(石l，石2，…，戈。)， 在常微分方程理论中，可以证明[2。，如果方 F OFi(茗l，z2，…，戈。) ，口2——■瓦～’ 程M(x，Y)dx+J7、r(石，Y)dy=0有解存在，则必存 在积分因子，并且不是唯一的．但是，对于波发夫 对于n维波发夫方程(3)，有如下定理： 方程(1)来说，其积分因子存在是有前