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解题研究 一道高考题的巧解与推广 徐令芝 (湖南省桃江县第一中学413400) 2006年高考福建卷第16题为：如图1，连接 所以△A。B。c。的重心为G。(号，吾)． △A。B。C0的各边中点得到 所以每一个△A。B。C。都包含点G。，又由题 一个新的△A。B。C。，又连 设知： 接△A。B。C。的各边中点得 这一系列三角形趋向于一个点M． 到△A。B。C。，如此无限继 续下去，得到一系列三角 所以点M必为点G。，即M(詈，了2)． 形：△A。B0C0，△AlB，C。， △A。B。C：，…，这一系列三 图1 3 推广 角形趋向于一个点M，已知A。(O，O)，Bo(3，O)， 如图2，在△ABC的各边上分别取点A。、B。、 C。(2，2)，则点M的坐标是——．(注：字母有变 C。，使磁：A面，蔚一A布，面子A窳 动)． (A为正常数)． C 本文将给出该题的一个巧解及推广． 再在△A。B。C。的各边 ，0●●●●●●，，●，●0，，●l■ 1 引理 上分别取点Az、Bz、c2，使： j引引引酣一 石葛：A瓦茸，百忑= 设G为AABC的重心，O为任意一点，则： ．：【死茸，酉葛兰A瓦蕾． A 。G B 葫+茁+芘一3葡． 如此继续下去，得到一 煞 证略． 系列△A。B。C。(n∈N，当，l 图2 月2巧解 因为A。、B。、C，分别为△A。B。Co各边的中 等等(Ao)，妣 点，所以o--X，一喜(亩。+砣。)， (1)△A。B。C。的重心为一定点． (2)记△A。B。C。的面积为S。，则S抖，一qS。． o--Z，：昙(葡。+葫。)， (3)记△A，；B。C。各边的平方和为L。，则 L计l=qL。． 瓦一姜(蕊。+亩。)(其中O为任意点)， (4)当扎趋向于无穷大时，△A。B。C。趋向于 由以上三式相加得： 一点G，G为AABC的重心． 证：(1)由题设以及定比分点的向量公式得： o-X。+o--g。+苟，：o--X。+茁。+砣。． 设△A，。B…C的重心为G。(竹∈N)，则由上式 两：骅， 及引理得：3亩，一3亩。． 两一茁+A葡 所以一GoGl—0，所以Go与G。重合． 同理