构造法在三角函数中的应用.pdfVIP

维普资讯 2008年第 2，4期 数 学 通 讯 9 构造法在三角函数 中的应用 程宏咏 (淮安 中学 ，江苏 223200) 构造法作为一种数学思维方法 ，在处理 的内容 ，如方程有实根则其判别式不小于零； 某些三角 问题时，若能充分挖掘题 目中潜在 其根与系数之间具有非常特殊的关系 —— 的信息，构造与之相关 的函数 、方程、数列、向 韦达定理 ；方程在 区间上有实根可与函数 的 量、复数、几何图形、对偶式等 ，可使 问题迅速 图象产生对应等等．构造方程后可以将一些 获解 ． “相等关系”转化为 “不等关系”，也可以将一 本文浅谈构造法在三角函数中的巧妙应 些 “不等关系”转化为 “相等关系”，因此 ，三 用 ，训练学生的发散思维，寻求最佳的解题途 角函数中的很多问题可通过构造方程求解． 径，达到思维 的创新． 例2求c。s孥+c。s一1c。s · 1 构造 函数 函数具有许多特殊 的性质，特别是函数 cos 的值． 还可以通过与 图象对应给人一种直观的感 觉 ，如果在解三角 函数题 中能构造适 当的函 分析 本题是求三角函数的值 ，分析所 数并充分利用其性质 ，则会给我们解题开辟 给角不是特殊角，如果直接计算很难得到结 新的思路． 果，但若仔细分析所求式子的特征，巧妙地构 造方程，利用方程的思想则很快得到解决． 例1 已知 ，Y∈[一÷，]，口∈R且 解 构造三角方程： f + sin_~一 2a= 0， 。+。2：。孥+。 ， I4y3+sinycosy+口=0， 求COS(X+2y)的值． 显然 ， 是这个方程的两个特殊 的 分析 已知条件的等式 中，既含有有理 式又含有超越式，关键 是如何把 z，Y联系在 解 ，上述方程可化为 ： 一 起，若用常规方法则无法下手．消去题设中 ． 2cosz + cos — l— cos 一 cos 一 0． 的a可得 z。+sinx一 (一2y)+sin(～2y)， · ． ． ， 观察上式两边 ，他们有相同的模式 ，于是联想 ··COS—=-，COS— 是楚方万程程 2zYz+十YY一一 1一一 构造函数求解． 解 构造 函数 COS 一 o -E-一 0的两个相异的根． ‘ 厂()一。+sint,∈[一号，号]， ． ． 根据韦达定理得 27c 47c 】