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高中数学教与学 2009釜 恒成立问题的求解途径 姚晓忠 (江苏省武进高级中学，213161) 恒成立问题是高中数学学习中常见的问 = 0．n = 1． 题，学生往往感到困难，摸不着头绪．下面就 二、不等式恒成立问题 这类问题及其求解思路作一简单介绍． 不等式恒成立问题的一般形式是根据不 一 、 等式恒成立问题 等式恒成立求相应的参数取值范围．解决不 等式恒成立问题看似简单 ，而学生却常 等式恒成立问题，主要有以下几个方法． 常感到无从下手．解决这类问题 ，只要抓住一 1．最值判断法 点：当一个等式对取值范围内一切值恒成立 这种方法的基本思路是 ： 时，分析等式的结构特征，就能获得解决问题 (1)不等式．厂() 在X∈，时恒成立 的思路． )在 ，中的最大值 ． 例1 已知函数l厂()= +n是奇函 (2)不等式-厂() 在 ∈，时恒成立 厂()在 ，中的最小值 ． 数，求 。的值． 例 3 (2006年全国高考题)设函数．厂() 解 ．厂()的定义域为 ≠0的一切实数． = ( +1)In( +1)，若对所有 ≥0，都有 因为 X)是奇函数，所以_厂(一 )=一I厂()恒 _厂()≥ “成立，求实数 。的取值范围． 成立，即 +。=一( +n)对不等于 分析 构作辅助 函数 g()= ( + 1)In(X+1)一0，原问题变为g()≥0对所 0的一切实数 都成立 ，整理得 (2a一1)(1— 有的 ≥0恒成立，注意到 g(0)=0，故问题 2)=0，因为对一切不等于0的实数 都成 转化为g()≥g(o)在 ≥0时恒成立，于是 立 ，所 以2Ⅱ一1=0，n= 1 ． 只要说明函数g()在 [0，+∞)为增函数即 例2 已知函数_厂()=sin2 +a(?OS2x 可．于是可通过求导判断g()的单调性 ，再 求出使g(z)≥g(o)成立的条件． 的图象的对称轴为 =詈，求。的值． g()：In(+1)+1一n，由g()=0， 解 因为函数-厂()图象的对称轴为 = 得 =e 一1．当 e 一l时，g()0， 詈，所以有／I詈+)=号一)恒成立，代 g()为增函数，当一1 e～“一l时，g() 0，g()为减函数．于是对所有的 ≥0，都 入得sin(TI+2)+nc。s(詈+2)： 有g()≥g(o)的其充要条件是e 。一1≤0， 故得n的取值范围是 (一∞，1]． sin(一2)+。c。s(手一2)，展开整理得 若没有注意到g(o)=0，我