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使用X-FEM 方法建立间断化扩展特性 概述 建立离散化扩展特性，如裂纹：  通常被称为扩展有限元方法（XFEM ）；  基于单元划分的传统有限元方法扩展；  采用特殊的位移函数，通过扩展自由度允许间断特性的存在；  不需要重新划分网格用于适应几何间断特性；  是一种非常有效和有吸引力的方法，用于模拟任意性、求解相关路径裂纹的裂纹初始及 裂纹扩展过程，而不用要求重新划分网格；  可以同时与基于面的粘性行为方法（surface-based cohesive behavior ）和虚拟裂纹闭合 法同时使用（VCCT ）；  可以用于计算任意稳定表面裂纹的路径积分，而不需要在裂纹尖端周围重新剖分网格；  允许基于小滑动形式（small-sliding formulation ）的裂纹单元之间的接触作用；  允许几何非线性和材料非线性的存在；  当前只对一阶应力/位移固体连续单元有效。 建模方法 使用传统有限元方法建立固定不连续性质，如裂纹，要求网格划分符合几何不连续。因 此，很多的网格重构需要建立用以更好地模拟裂纹尖端附近奇异渐进场。建立扩展裂纹模型 更加复杂，这是由于网格需要连续不断地更新以适应裂纹扩展过程中几何不连续性。 扩展有限元方法（XFEM ）可以缓解裂纹面网格划分带来的缺点。扩展有限元方法由 Belytschko and Black （1999）首次提出。该方法基于整体划分 （partition of unity ）的概念 (Melenk and Babuska 1996)，属于传统有限元方法的扩展。该整体划分概念使扩展函数 （enrichment functions ）方便地插入到有限元近似当中。间断性可以通过与额外自由度相 关联的扩展函数（enriched functions ）来确定。然而，扩展有限元方法保留了有限元框架及 一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。 节点扩展函数简介（Introducing nodal enrichment functions ） 为了实现断裂分析，扩展函数通常包括裂纹尖端附近渐进函数（near-tip asymptotic functions ）-用于模拟裂纹尖端附近的应力奇异性，及间断函数 （discontinuous functions ）- 用于表示裂纹面处位移跳跃。使用整体划分特性的位移向量函数u 表示为 其中 为常用的节点位移形函数；上述公式中等号右边第一项 代表有限元位移求解 对应的连续部分；第二项为节点扩展自由度向量 ， 为沿裂纹面的间断跳跃函 数；第三项为节点扩展自由度向量 ， 为裂纹尖端应力渐进函数。右端第一 项可用于模型中所有节点；右端第二项只对形函数被裂纹内部切开的单元节点有效；右端第 三项只对形函数被裂纹尖端切开的单元节点有效。 图1 图1 描述了沿裂纹面的间断跳跃函数 ，由以下给出 其中 为样本点 （Gauss point ）， 为位于裂纹上聚 最近点， 为单位外法线向量。 图1 描述了各项同性材料的裂纹尖端渐进函数， ，记为 其中 为极坐标系，裂纹尖端切线方向对应 。 上述函数遍及静态弹性的裂纹尖端渐进函数， 考虑了沿裂纹表面的间断性。裂 纹尖端的渐进函数并不局限于各项同性弹性材料的裂纹建模。相同的方法亦可以用于双材料 交界面处裂纹建模，双材料界面冲击作用（impinged on the biomaterial interface ），可用于弹- 塑性指数硬化材料。然而，对于3 种中的每一种情况，不同的裂纹尖端渐进函数的形式与裂 纹位置、非线性材料变形程度有关。不同的裂纹尖端渐进函数形式分别在Sukumar (2004), Sukumar and Prevost (2003), Elguedj (2006)讨论。 对裂纹尖端奇异性精确建模需要随时追踪裂纹扩展的具体位置，上述过程非常繁琐， 这是由于裂纹奇异程度依赖于裂纹在非各项同性材料中的具体位置。因此，在 Abaqus/St