第二章控制系统的数学基础和数学模型.ppt

2.1.2 拉氏变换的主要性质 1.线性性质 设L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2为常数 ，则 2.微分性质 若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则 2.1.3 拉氏反变换 2.2 系统的数学模型 数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构 与参数之间的数学表达式。 工程上常用的数学模型有： 微分方程 传递函数 状态方程 建立数学模型的方法有： 理论分析（解析法） 试验的方法获取 2.2.1 线性系统与非线性系统 1. 线性系统 (1)定义： 系统微分方程的规范化形式如下： 或 若系数ai,bi是常数，则方程是线性定常的，相应 的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数， 则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变 系统。 2. 非线性系统 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性 …… 3. 非线性系统的线性化 具有本质非线性特性的系统：忽略非线性因素或用非线性理论去处理。 非本质非线性特性的系统: 切线法，或称微小偏差法处理。 2．电气系统 电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律： 基尔霍夫电压定律： 欧姆定律： 电感定律： 电容定律： 例2 写出下图电气系统的微分方程 3. 列写系统微分方程的步骤： (1)分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输出 量与输入量； (2)从系统的输入端开始，依据物理学定律，依次列写组成系统各 元件的动力学方程，其中要考虑相邻两元件间的负载效应； (3)将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入量和输出量之间 关系的微分方程，并将与输入有关的各项放在方程右边，与输 出有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，即得系 统微分方程的标准形式； (4)在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项 应加以线性化。 2.3 传递函数 2.3.1 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时，输出量xo(t)的拉氏变换Xo(s)与输入量xi(t)的拉氏变换Xi(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。表示为： 2.3.2 传递函数的求法 1.解析法 (1)根据定义求取 设线性定常系统输入为xi(t)，输出为xo(t)， 描述系统的微分方程的一般形式为 : 式中，n≥m ；an，bm均为系统结构参数所决定的定常数（n，m=0、1、2、3…）。 如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零），取等式两 边拉氏变换后得: （2）传递函数的零、极点 系统的传递函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数．经因子分解 后，G(s)可以写成如下一般形式： 为常数 当 (j=1，2，…，m)时，均能使 ，故称为 G(s)的零点。 当 (i＝1，2，…，n)时，均能使G(s)的分母为0，G(s)取极 值，lim G(s)= (i=1，2，…，n)， ，称 (i=1，2，…，n)为 G(s)的极点． 例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。 解：取拉氏变换并求商得 2.3.3 传递函数的性质 1.传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性的，而 系统本身特性与输入量无关； 2.传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它 们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相 似系统； 3.传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的； 4.传递函数是复变量s的有理分式。传递函数多项式分子中s的阶数m 小于分母中s的阶数n, 即m≤n。传递函数分母多项式中s的最高幂 数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。 2.4 典型环节的传递