2013年高考压轴题跟踪演练系列五.doc

备战2013高考数学――压轴题跟踪演练系列五 1．（本小题满分14分） 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明； （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程； （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 ………………………3分 证法二：设点P的坐标为记 则 由 证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即 由，所以…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分 （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当时，， 由， ， ，得 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由④得 上式代入③得 于是，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当时，记， 由知，所以…………14分 2．（本小题满分12分） 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设 是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （Ⅰ）用、、表示m； （Ⅱ）证明：当； （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数， 求b的取值范围及a与b所满足的关系. 本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的 最小值为0，因此即…………………………6分 （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为 于是的充要条件是…………………………10分 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有解、解不等式②得 ③ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 （Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 ………………………………………………………………8分 令，于是对任意成立的充要条件是 由 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有解、解不等式②得 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 3．（本小题满分12分） 已知数列的首项前项和为，且 （I）证明数列是等比数列； （II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小. 解：由已知可得两式相减得 即从而当时所以又所以从而 故总有，又从而即数列是等比数列； （II）由（I）知 因为所以 从而= =-= 由上-= =12① 当时，①式=0所以； 当时，①式=-12所以 当时， 又 所以即①从而 4．