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目录 后页 返回 * 前页 原根的定义 定理5.5.2 ---域的唯一性 定理5.5.3 ---伽罗瓦域的同构 §5.5 有限环 一、定理 定理5.5.1 ---有限域的阶是素数的方幂 例1 例2 推论1 定理5.5.4 ---伽罗瓦域存在且仅有唯一子域 推论2 推论3 二、例子 例3 参考资料 定理5.5.1 有限域的阶是一个素数的方幂. 证 设 是有限域, 则 的特征是一个素数, 设为 关于加法构成一个交换群. 由于对每个 , 有 , 故 中每个非零元 的阶数都是素数 . 一、定理 中必有素因数 , 如果 的阶不是 的方幂, 则 的元, 矛盾! 所以 的阶是 的一个方幂. 因此由§2.2知 中必含有阶为 注 利用素域的概念, 可以给出定理5.5.1的另一种 证明. 定理5.5.2 对每个素数 和每个正整数 , 在同构 的意义下存在惟一的 阶的有限域. 证 考虑 在 上的分裂域 . 来证明 . 我们 的每个根都是单根. 中恰有 个根(重根按重数计算). 并且, 由定理5.3.4, 因为 在 中分裂, 所以 在 的根. 于是 在 中有 个不同 关于加、减、乘、除(除数非零)封闭(见习题2). 于是 另一方面, 在 中的所有零点(即, 根)的集合 集就等于 . 因此, . 下面证明惟一性. 以 中每个元都是 的根. 于是 一定是 在 上的分裂域. 由定理5.3.3的推论1, 在同构 意义下这样的域是惟一的. 因为 的非零元全体构成一个 阶的乘法群, 一个同构于 的素域(见定理3.6.5). 假设 是任一 阶的域. 则 有 注 因为对每个素数幂 仅存在一个 阶的域, 所以,我们可将此域记作 (以纪念伽罗瓦), 并 称之为 阶的伽罗瓦域. 定理5.3.3 作为加法群同构于 的全体非零元的集合关于乘法构成的群是一 个 阶的循环群. 证 关于加法的结构是简单的(见习题3). 但乘法结构的证明要复杂一点. 我们略去不证. 详细证明可参见[1]. 推论1 一个有限域 是它的素子域的一个单扩域. 推论2 推论3 设 是 的非零元乘法群的生成元, 则 是 上的 次代数元. 证 这是因为 由上述定理可知, 素 的乘法群 也是一个循 环群.设 , 使 , 这样的正整数 称为模 的一个原根. 二、例子 例1 设 , 则 , 故 是模 的原根的充分必要条件是 由于 但是 故 是模 的原根, 又因为 都不是原根, 所以 也是模 的最小原根, . 确定模的最小原根 是数论中的一个重要课题. 以下素数及其最小原根表见[2]中的附录. 例2 多项式 是 上的不可约多 项式.我们来考虑如何将 写成一次因式的乘积. 设 , 则 是个域, . 设 是 在 上的根, 则由群的拉格朗日定理知 在乘 法群 中的阶 . 由定理5.3.2, 我们知道, 是 的一个根, 我们要检验 中其他 元素是否是根. 可以利用等式 来简化计算, 列出 中上述两种表法的对应关系. 由于 , 所以 . 则 现在来检验 是否为 的根: 因此, 是根. 而 故不是. 类似可得 . 所以 定理5.5.4 对 的每个正因数 , 中存在惟 一的 阶的子域. 并且这些是 中仅有的子域. 证 先证存在性. 设 . 因为 所以, . 从而在 中 . 于是 中的每个根也是 的根.但是 我们在定理5.