点线面之间的位置关系_复习【更多资料关注@高中学习资料库 求资料加微信：gzxxzlk】.doc

第19讲 第二章 点线面之间的位置关系 复习 ¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中垂直与平行的判定与性质，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的命题. ¤例题精讲： 【例1】如图，在棱长为1的正方体中，M、N分别在其面的对角线A1B、AC上运动，且A1M=AN，求MN的最小值. 解：设AN=，作NG⊥AB于G点，连MG. ∵BC⊥AB，∴NG∥BC， 又由A1M= AN可得MG⊥AB， ∴ MG∥B1B. 由等角定理知∠MGN=∠B1BC=90°, ∴ NG=NA=，MG=BM=. ∴ MN2=NG2+MG2=. ∴ 当=时，MN2有最小值，MN有最小值. 【例2】如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：． 证明：∵ ，∴ . 又∵，∴ , 得. 取BC中点G，连结， ∴ . ∵，∴ . 又∵正方形中，E,G分别为的中点， ∴， ∴ , 得. 又∵， ∴． 【例3】正方体中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：平面AMN∥平面EFDB. 证明：（1）连接. ∵ E、F分别是B1C1、C1D1的中点，∴ . 又 ∵ 且, ∴ . 根据平行公理4,得到，所以E、F、B、D共面. （2）连接,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ. 由已知可得， ∴ . 由已知可得，且. ∴ , ∴. ∴平面AMN∥平面EFDB. 点评：证面面平行，可以是“线线平行→线面平行→面面平行”. 【例4】（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.（1）证明：； （2）求底面中心到侧面的距离. 解：（1）证明：取边的中点，连接、， 则，，故平面. ∴ . （2）由题意可知点在上，. 过点作为垂足，连接. ∵ 平面， ∴ ，又有， ∴ 平面，即为点到侧面的距离. ∵ ，， ∴ 是侧面与底面所成二面角的平面角，即. 设=，则,,,. ∴ ，由体积，解得 ，即底面中心到侧面的距离为3. 点评：立体几何中的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等. 第19练 第二章 点线面之间的位置关系 复习 ※基础达标 1． （06年四川卷）已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（ ）. A. B. C. D. 2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）. A．α、β都垂直于平面r B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β 3．（04年全国卷Ⅱ.文6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） . A．75° B．60° C．45° D．30° 4．（06年福建卷和共面的直线、下列说法中正确的是（ ）. A. 若则　　　　 B. 若则 C. 若则　　　　 D. 若、与所成的角相等，则 5．（07年是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　　）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（06年天津卷）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为_____________． 7．（01京皖春）已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法： ① 若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β； ② 若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n； ③ 若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④ 若α∩β＝m，n∥m且nα，nβ，则n∥α且n∥β. 其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都填上）. ※能力提高 8．直线a、b、c共点P，且两两成60°角，求c与a、b所确定的平面α所成角的余弦值. 9．（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小. ※探究创新 10．（02年北京理）如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两